Решить задание с параметром

Предмет: Алгебра
Раздел: Квадратные уравнения, параметры

Рассмотрим квадратное уравнение:

(a - 5)x^2 - 4ax + a - 2 = 0

1. Определение условия для существования корней

Квадратное уравнение имеет два корня, если его дискриминант положителен:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае:

• A = (a - 5)
• B = -4a
• C = a - 2

Подставим в формулу дискриминанта:

D = (-4a)^2 - 4(a - 5)(a - 2)

D = 16a^2 - 4(a^2 - 7a + 10)

D = 16a^2 - 4a^2 + 28a - 40

D = 12a^2 + 28a - 40

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным:

12a^2 + 28a - 40 > 0

Решим квадратное неравенство:

Найдем корни уравнения 12a^2 + 28a - 40 = 0 по формуле:

a = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-40)}}{2 \cdot 12}

a = \frac{-28 \pm \sqrt{784 + 1920}}{24}

a = \frac{-28 \pm \sqrt{2704}}{24}

a = \frac{-28 \pm 52}{24}

Получаем два корня:

a_1 = \frac{-28 + 52}{24} = \frac{24}{24} = 1

a_2 = \frac{-28 - 52}{24} = \frac{-80}{24} = -\frac{10}{3}

Решаем неравенство методом интервалов. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх (так как коэффициент при a^2 положителен), получаем:

a \in (-\infty; -\frac{10}{3}) \cup (1; +\infty)

2. Условие разности знаков корней

Корни квадратного уравнения различны по знаку, если их произведение отрицательно:

P = \frac{C}{A} = \frac{a - 2}{a - 5} < 0

Рассмотрим знак выражения \frac{a - 2}{a - 5}:

Найдем нули числителя и знаменателя:

• a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2
• a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5

Разбиваем числовую ось на интервалы:

1. a \in (-\infty; 2) — числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна.
2. a \in (2; 5) — числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
3. a \in (5; +\infty) — числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.

Нас интересует область, где \frac{a - 2}{a - 5} < 0, то есть a \in (2; 5).

3. Итоговое пересечение условий

Для разности знаков корней нужно, чтобы одновременно выполнялись оба условия:

• a \in (-\infty; -\frac{10}{3}) \cup (1; +\infty) (существование двух различных корней)
• a \in (2; 5) (разность знаков корней)

Пересечение этих множеств:

a \in (2; 5)

Ответ:

Корни уравнения будут разными по знаку при a \in (2; 5).