Решить уравнение

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, Квадратные уравнения

Рассмотрим квадратное уравнение:

x^2 - 2x + 7 = 0.

Для решения квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 используется формула корней:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, 

где:

• a — коэффициент при x^2,
• b — коэффициент при x,
• c — свободный член.

В нашем случае:

• a = 1,
• b = -2,
• c = 7.

1. Вычислим дискриминант:

Формула дискриминанта:

D = b^2 - 4ac.

Подставим значения:  D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24. 

Дискриминант D = -24 отрицательный, что говорит о том, что уравнение не имеет действительных корней. Однако, уравнение имеет два комплексных корня.

2. Найдем комплексные корни:

Формула для корней:  x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. 

Подставим значения:  x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{-24}}{2}. 

Заметим, что \sqrt{-24} = \sqrt{24} \cdot i, где i — мнимая единица (i^2 = -1). Разложим \sqrt{24}:  \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}. 

Тогда:  x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}i}{2}. 

Упростим:  x = 1 \pm \sqrt{6}i. 

Ответ:

Уравнение имеет два комплексных корня:  x_1 = 1 + \sqrt{6}i, \quad x_2 = 1 - \sqrt{6}i.