Решение системы уравнений используем метод подстановки

Предмет: Алгебра
Раздел: Системы уравнений

Нам дана система уравнений:

1. y = x + 2
2. y = -x^2 + 3x + 5

Для решения системы уравнений используем метод подстановки. Подставим первое уравнение y = x + 2 во второе уравнение вместо y:

x + 2 = -x^2 + 3x + 5

Приведем всё к стандартному виду квадратного уравнения:

-x^2 + 3x - x + 5 - 2 = 0
-x^2 + 2x + 3 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от минуса перед x^2:

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -2, c = -3.

Подставим значения:
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)
D = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант положителен (D = 16), уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставим значения:
x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}
x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2}

Теперь найдем корни:

1. x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
2. x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1

Теперь найдем соответствующие значения y. Для этого подставим значения x_1 и x_2 в первое уравнение y = x + 2:

1. Если x = 3, то y = 3 + 2 = 5.
2. Если x = -1, то y = -1 + 2 = 1.

Итак, решения системы уравнений:

1. (3, 5)
2. (-1, 1)

Ответ: (3, 5) и (-1, 1).