Разобрать уравнение квадратичной функции

Предмет: Алгебра
Раздел: Квадратичные функции и параболы

Задано уравнение квадратичной функции:

y = -0{,}5x^2 + 2x + 6

Это уравнение описывает параболу. Давайте подробно разберём его:

1. Общий вид квадратичной функции

Квадратичная функция имеет общий вид:

y = ax^2 + bx + c

В нашем случае:

• a = -0{,}5
• b = 2
• c = 6

2. Ветви параболы

Так как a = -0{,}5 < 0, ветви параболы направлены вниз.

3. Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы находятся по формулам:

• x_0 = \frac{-b}{2a}
• y_0 = f(x_0)

Подставим значения:

x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-0{,}5)} = \frac{-2}{-1} = 2

Теперь найдём y_0:

y_0 = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 6 = -0{,}5 \cdot 4 + 4 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8

Вершина параболы: (2; 8)

4. Ось симметрии

Ось симметрии проходит через вершину параболы:

x = 2

5. Нули функции (корни уравнения)

Найдем корни уравнения -0{,}5x^2 + 2x + 6 = 0.

Умножим всё уравнение на -2, чтобы избавиться от дробей:

x^2 - 4x - 12 = 0

Решим это квадратное уравнение по дискриминанту:

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64

x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 8}{2}

x_1 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6

x_2 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Корни уравнения: x = -2 и x = 6

6. Область определения и значения

• Область определения: все действительные числа, x \in \mathbb{R}
• Область значений: так как ветви направлены вниз, максимум достигается в вершине:

y \leq 8

7. Краткий итог

• Ветви вниз
• Вершина: (2; 8)
• Ось симметрии: x = 2
• Корни: x = -2 и x = 6
• Область значений: y \leq 8

Если нужно построить график или выполнить дополнительные действия — дай знать!