Расписать интеграл

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Дано выражение для интегрирования:
\int \left(\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6\right)dx

1. Найдём первообразную

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

1. Интеграл от \frac{1}{3}x^3:
   \int \frac{1}{3}x^3 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{4}}{4} = \frac{x^4}{12}

2. Интеграл от 2\sqrt[3]{x}:
   Представим корень в виде степени: \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, тогда:
   \int 2x^{\frac{1}{3}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = \frac{6}{4} x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}

3. Интеграл от 6:
   \int 6 dx = 6x

Добавляем константу интегрирования C:
\frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + 6x + C

2. Проверка дифференцированием

Дифференцируем найденную первообразную:

1. \frac{d}{dx} \left(\frac{x^4}{12}\right) = \frac{4}{12}x^3 = \frac{1}{3}x^3
2. \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} = 2x^{\frac{1}{3}} = 2\sqrt[3]{x}
3. \frac{d}{dx} (6x) = 6
4. \frac{d}{dx} C = 0

В результате получаем исходное подынтегральное выражение:
\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ:
\int \left(\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6\right)dx = \frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + 6x + C