При каких значениях параметра а число x = -2 является корнем не ниже второй кратности многочлена

Предмет: Алгебра
Раздел: Многочлены и их корни

Дано уравнение:
 f(x) = x^3 + a x^2 - 8x + (a^2 - 13) 

Число  x_0 = -2  является корнем не ниже второй кратности, то есть:

1.  f(-2) = 0  (чтобы  x_0  был корнем).
2.  f'(-2) = 0  (чтобы кратность корня была не ниже 2).

Шаг 1: Найдём  f(-2) 

Подставим  x_0 = -2  в многочлен:
 f(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - 8(-2) + (a^2 - 13) 
 = -8 + 4a + 16 + a^2 - 13 
 = a^2 + 4a - 5 

Так как  -2  — корень, то:
 a^2 + 4a - 5 = 0 

Решим квадратное уравнение:
 a^2 + 4a - 5 = 0 
Найдём дискриминант:
 D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 
Корни:
 a = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} 
 a_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad a_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 

Шаг 2: Найдём  f'(x)  и проверим  f'(-2) = 0 

Найдём производную:
 f'(x) = 3x^2 + 2ax - 8 

Подставим  x = -2 :
 f'(-2) = 3(-2)^2 + 2a(-2) - 8 
 = 3(4) - 4a - 8 
 = 12 - 4a - 8 
 = 4 - 4a 

Приравняем к нулю:
 4 - 4a = 0 
 a = 1 

Ответ:

Число  x_0 = -2  является корнем не ниже второй кратности при  a = 1 .