Основные свойства неопределенного интеграла

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Неопределенный интеграл)

Основные свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл функции ( f(x) ) определяется как множество всех первообразных этой функции и записывается в виде:
\int f(x) \,dx = F(x) + C,
где ( F(x) ) — первообразная функции ( f(x) ), а ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Линейность интеграла:

   • Сумма интегралов:
     \int (f(x) + g(x)) \,dx = \int f(x) \,dx + \int g(x) \,dx
   • Вынесение константы за знак интеграла:
     \int k f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx, где ( k ) — постоянный множитель.

2. Интеграл от производной:
   \int F'(x) \,dx = F(x) + C.

3. Интеграл от нуля:
   \int 0 \,dx = C.

4. Инвариантность относительно замены переменной:
   Если ( t = \phi(x) ), то
   \int f(\phi(x)) \phi'(x) \,dx = \int f(t) \,dt.

Эти свойства позволяют упрощать вычисление интегралов и применять различные методы интегрирования.