Определить число положительных и число отрицательных корней уравнения

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, теория уравнений

Для определения числа положительных и отрицательных корней уравнения
x^4 - 4x + 1 = 0
используем правило знаков Декарта.

1. Определение числа положительных корней

Правило знаков Декарта гласит, что число положительных корней уравнения равно числу изменений знаков в последовательности коэффициентов многочлена или меньше этого числа на чётное число.

Рассмотрим многочлен:
f(x) = x^4 - 4x + 1
Коэффициенты: 1, 0, 0, -4, 1.

Анализируем знаки:

• 1 (положительный)
• 0 (ноль не учитывается)
• 0 (ноль не учитывается)
• -4 (от положительного к отрицательному — изменение знака)
• 1 (от отрицательного к положительному — изменение знака)

Число изменений знака: 2.
Следовательно, число положительных корней — 2 или 0.

2. Определение числа отрицательных корней

Рассмотрим f(-x):
f(-x) = (-x)^4 - 4(-x) + 1 = x^4 + 4x + 1.

Коэффициенты: 1, 0, 0, 4, 1.

Анализируем знаки:

• 1 (положительный)
• 0 (ноль не учитывается)
• 0 (ноль не учитывается)
• 4 (положительный, нет изменения знака)
• 1 (положительный, нет изменения знака)

Число изменений знака: 0.
Следовательно, отрицательных корней нет.

Ответ:

• Число положительных корней: 2 или 0
• Число отрицательных корней: 0