Определить число положительных и число отрицательных корней уравнения (Теорема знаков Декарта)

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, Теорема знаков Декарта

Рассмотрим уравнение:
x^4 - 4x + 1 = 0

Определение числа положительных корней

Используем теорему знаков Декарта, которая утверждает, что число положительных корней многочлена не превосходит числа перемен знаков в его коэффициентах и отличается от него на чётное число.

Рассмотрим знаки коэффициентов многочлена f(x) = x^4 - 4x + 1:

• x^4 (положительный)
• -4x (отрицательный) → смена знака
• +1 (положительный) → смена знака

Итак, у нас 2 смены знака, значит, число положительных корней может быть 2 или 0.

Определение числа отрицательных корней

Рассмотрим многочлен f(-x):
(-x)^4 - 4(-x) + 1 = x^4 + 4x + 1

Рассматриваем знаки коэффициентов:

• x^4 (положительный)
• 4x (положительный) → нет смены знака
• +1 (положительный) → нет смены знака

Так как смен знаков нет, то отрицательных корней нет.

Ответ:

• Число положительных корней: 2 или 0
• Число отрицательных корней: 0