Описать фактор-группу мультипликативной группы невырожденных матриц по подгруппе матриц с единичным определителем

Предмет: Высшая алгебра
Раздел: Теория групп и фактор-группы

Разбор задания №4:

Задание требует описать фактор-группу мультипликативной группы невырожденных матриц по подгруппе матриц с единичным определителем.

Разбор понятий:

1. Мультипликативная группа невырожденных матриц — это группа всех обратимых (невырожденных) матриц порядка ( n ) с операцией умножения. Обозначается как ( GL(n, \mathbb{F}) ), где ( \mathbb{F} ) — поле, например, ( \mathbb{R} ) или ( \mathbb{C} ).

2. Подгруппа матриц с единичным определителем — это группа специальных линейных матриц, обозначаемая как ( SL(n, \mathbb{F}) ). Она состоит из всех матриц из ( GL(n, \mathbb{F}) ), у которых определитель равен 1.

3. Фактор-группа ( GL(n, \mathbb{F}) / SL(n, \mathbb{F}) ) — это множество классов смежности, где два элемента ( A, B \in GL(n, \mathbb{F}) ) считаются эквивалентными, если их отношение ( A B^{-1} ) принадлежит ( SL(n, \mathbb{F}) ).

Решение:

Поскольку любая невырожденная матрица ( A ) может быть представлена в виде A = S \cdot D, где ( S \in SL(n, \mathbb{F}) ) и ( D ) — диагональная матрица вида ( cI ) (где ( c ) — скаляр), фактор-группа ( GL(n, \mathbb{F}) / SL(n, \mathbb{F}) ) изоморфна группе ненулевых скаляров ( \mathbb{F}^{\times} ), то есть группе ненулевых элементов поля ( \mathbb{F} ) относительно умножения.

Таким образом, фактор-группа ( GL(n, \mathbb{F}) / SL(n, \mathbb{F}) ) изоморфна мультипликативной группе поля ( \mathbb{F} ), а именно: GL(n, \mathbb{F}) / SL(n, \mathbb{F}) \cong \mathbb{F}^{\times}.

В частности, если ( \mathbb{F} = \mathbb{R} ), то: GL(n, \mathbb{R}) / SL(n, \mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{\times} = \mathbb{R} \setminus \{0\}, что означает, что фактор-группа изоморфна группе ненулевых вещественных чисел относительно умножения.

Ответ:

Фактор-группа ( GL(n, \mathbb{F}) / SL(n, \mathbb{F}) ) изоморфна мультипликативной группе ненулевых элементов поля ( \mathbb{F} ), то есть ( \mathbb{F}^{\times} ).