найти такие значения параметра a, при которых все корни уравнения больше -1

Предмет: Алгебра

Раздел: Квадратные уравнения с параметром

Дано квадратное уравнение:
x^2 + (2a + 6)x + 4a + 12 = 0

Требуется найти такие значения параметра a, при которых все корни уравнения больше -1.

Шаг 1: Найдём корни квадратного уравнения

Коэффициенты уравнения:

• A = 1
• B = 2a + 6
• C = 4a + 12

Формула корней квадратного уравнения:
x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}

Вычислим дискриминант:
 D = B^2 - 4AC = (2a + 6)^2 - 4(1)(4a + 12) 
 D = 4a^2 + 24a + 36 - 16a - 48 
 D = 4a^2 + 8a - 12 

Шаг 2: Условие существования действительных корней

Для существования корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:
 4a^2 + 8a - 12 \geq 0 
Разделим на 4:
 a^2 + 2a - 3 \geq 0 

Решим квадратное неравенство:
Найдём корни квадратного уравнения a^2 + 2a - 3 = 0:
 a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} 
 a_1 = 1, \quad a_2 = -3 

Решение неравенства методом интервалов:
Знаки чередуются, так как старший коэффициент положителен.
 a \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty) 

Шаг 3: Условие, что оба корня больше -1

Корни уравнения:
 x_1 = \frac{-(2a + 6) + \sqrt{4a^2 + 8a - 12}}{2} 
 x_2 = \frac{-(2a + 6) - \sqrt{4a^2 + 8a - 12}}{2} 

Необходимо, чтобы оба корня были больше -1:
 \frac{-(2a + 6) + \sqrt{4a^2 + 8a - 12}}{2} > -1 
 \frac{-(2a + 6) - \sqrt{4a^2 + 8a - 12}}{2} > -1 

Умножим на 2:
 -(2a + 6) + \sqrt{4a^2 + 8a - 12} > -2 
 -(2a + 6) - \sqrt{4a^2 + 8a - 12} > -2 

Решая каждое неравенство, получаем:

1. \sqrt{4a^2 + 8a - 12} > 2a + 4
2. \sqrt{4a^2 + 8a - 12} < 2a + 4

Первое неравенство не имеет решений, так как корень всегда неотрицательный, а 2a + 4 растёт.
Второе неравенство даёт:
a \geq 2

Шаг 4: Объединение условий

Объединяем с условием a \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty):
Пересечение с a \geq 2 даёт:
a \geq 2.

Ответ:

a \geq 2.