найти такие значения параметра a, при которых все корни уравнения больше -1

Предмет: Алгебра

Раздел: Квадратные уравнения с параметром

Дано квадратное уравнение:
$x^2+(2a+6)x+4a+12=0$

Требуется найти такие значения параметра $a$, при которых все корни уравнения больше $-1$.

Шаг 1: Найдём корни квадратного уравнения

Коэффициенты уравнения:

• $A=1$
• $B=2a+6$
• $C=4a+12$

Формула корней квадратного уравнения:
$x=\frac{-B\pm \sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

Вычислим дискриминант:
$D=B^2-4AC=(2a+6{)}^2-4(1)(4a+12)$
$D=4a^2+24a+36-16a-48$
$D=4a^2+8a-12$

Шаг 2: Условие существования действительных корней

Для существования корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:
$4a^2+8a-12\ge 0$
Разделим на 4:
$a^2+2a-3\ge 0$

Решим квадратное неравенство:
Найдём корни квадратного уравнения $a^2+2a-3=0$:
$a=\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}$
$a_1=1,a_2=-3$

Решение неравенства методом интервалов:
Знаки чередуются, так как старший коэффициент положителен.
$a\in (-\mathrm{\infty },-3]\cup [1,+\mathrm{\infty })$

Шаг 3: Условие, что оба корня больше -1

Корни уравнения:
$x_1=\frac{-(2a+6)+\sqrt{4a^2+8a-12}}{2}$
$x_2=\frac{-(2a+6)-\sqrt{4a^2+8a-12}}{2}$

Необходимо, чтобы оба корня были больше $-1$:
$\frac{-(2a+6)+\sqrt{4a^2+8a-12}}{2}>-1$
$\frac{-(2a+6)-\sqrt{4a^2+8a-12}}{2}>-1$

Умножим на 2:
$-(2a+6)+\sqrt{4a^2+8a-12}>-2$
$-(2a+6)-\sqrt{4a^2+8a-12}>-2$

Решая каждое неравенство, получаем:

1. $\sqrt{4a^2+8a-12}>2a+4$
2. $\sqrt{4a^2+8a-12}<2a+4$

Первое неравенство не имеет решений, так как корень всегда неотрицательный, а $2a+4$ растёт.
Второе неравенство даёт:
$a\ge 2$

Шаг 4: Объединение условий

Объединяем с условием $a\in (-\mathrm{\infty },-3]\cup [1,+\mathrm{\infty })$:
Пересечение с $a\ge 2$ даёт:
$a\ge 2$.

Ответ:

$a\ge 2$.