Найти сумму всех возможных значений

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, системы линейных уравнений

Дана система линейных уравнений:

[ x_1 + x_2 + x3 + \dots + x{2024} = 20 ]

[ x_2 + x_3 + x4 + \dots + x{2024} = 1 ]

[ x_3 + x_4 + x5 + \dots + x{2024} = 1 ]

[ \vdots ]

[ x{2023} + x{2024} = 1 ]

[ x_{2024} = 1 ]

Решение:

1. Из последнего уравнения сразу получаем:
   [ x_{2024} = 1 ]

2. Подставляя это значение в предпоследнее уравнение:
   [ x{2023} + 1 = 1 ] [ x{2023} = 0 ]

3. Аналогично, подставляя ( x{2023} = 0 ) в предыдущее уравнение:
    [ x{2022} + x{2023} = 1 ] [ x{2022} + 0 = 1 ] [ x_{2022} = 1 ]

4. Продолжая этот процесс, замечаем, что значения переменных чередуются: [ x{2024} = 1, \quad x{2023} = 0, \quad x{2022} = 1, \quad x{2021} = 0, \quad x_{2020} = 1, \quad \dots ]

5. Теперь рассмотрим первое уравнение: [ x_1 + x_2 + x3 + \dots + x{2024} = 20 ] Так как значения переменных чередуются, то количество единиц среди них равно 10 (половина всех переменных, так как 2024 — четное число).

6. Нам нужно найти сумму всех возможных значений ( x_{100} ). Так как ( x_n ) чередуются по принципу: [ x_n = 1, \quad \text{если } n \text{ четное} ] [ xn = 0, \quad \text{если } n \text{ нечетное} ] то ( x{100} ) (так как 100 — четное число) равно 1.

Ответ:

[ \boxed{1.00} ]