Найти разложение (a + b)^5

Предмет: Алгебра
Раздел: Биномиальные формулы (бином Ньютона)

Задание:
Найти разложение (a + b)^5

Для решения используем формулу бинома Ньютона:

(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k,
где C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} — биномиальные коэффициенты.

В нашем случае n = 5. Тогда:

 \begin{aligned} (a + b)^5 &= C_5^0 \cdot a^5 \cdot b^0 + C_5^1 \cdot a^4 \cdot b^1 + C_5^2 \cdot a^3 \cdot b^2 \ &+ C_5^3 \cdot a^2 \cdot b^3 + C_5^4 \cdot a^1 \cdot b^4 + C_5^5 \cdot a^0 \cdot b^5 \ &= 1 \cdot a^5 + 5 \cdot a^4 b + 10 \cdot a^3 b^2 + 10 \cdot a^2 b^3 + 5 \cdot a b^4 + 1 \cdot b^5 \ &= a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a b^4 + b^5 \end{aligned} 

Ответ:

(a + b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a b^4 + b^5