Найти производную функции, заданной параметрически

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (параметрически заданные функции)

Нам нужно найти производную функции, заданной параметрически:
x = \ln\frac{1}{t}, \, y = t^3.

Производная параметрически заданной функции вычисляется по формуле:
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Шаг 1. Найдём производные \frac{dx}{dt} и \frac{dy}{dt}.

1. Для x = \ln\frac{1}{t}: \ln\frac{1}{t} = \ln 1 - \ln t = -\ln t.
   Тогда производная:
   \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-\ln t) = -\frac{1}{t}.

2. Для y = t^3:
   \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2.

Шаг 2. Найдём \frac{dy}{dx}.

Подставляем найденные производные в формулу:
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3t^2}{-\frac{1}{t}} = -3t^3.

Ответ:

Производная параметрически заданной функции:
\frac{dy}{dx} = -3t^3.