Найти первообразные для функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Первообразные и интегрирование)

Первообразной функции ( f(x) ) называется функция ( F(x) ), производная которой равна ( f(x) ), то есть:

F'(x) = f(x)

Первообразные находятся с помощью неопределенного интегрирования.

1. Найдем первообразную для ( f(x) = 6x - 5 ):

Интегрируем по ( x ):

\int (6x - 5) \,dx = \int 6x \,dx - \int 5 \,dx

Используем стандартные формулы интегрирования:

\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, \quad \int a \,dx = ax

Тогда:

\int 6x \,dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2
\int (-5) \,dx = -5x

Добавляем произвольную константу ( C ):

F(x) = 3x^2 - 5x + C

2. Найдем первообразную для ( f(x) = 8 + 3x^2 ):

Интегрируем по ( x ):

\int (8 + 3x^2) \,dx = \int 8 \,dx + \int 3x^2 \,dx

Используем стандартные формулы:

\int 8 \,dx = 8x
\int 3x^2 \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3

Добавляем произвольную константу ( C ):

F(x) = 8x + x^3 + C

3. Найдем первообразную для ( f(x) = \cos(8x + 8) ):

Используем стандартную формулу интегрирования:

\int \cos(ax + b) \,dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b)

Здесь ( a = 8 ), поэтому:

\int \cos(8x + 8) \,dx = \frac{1}{8} \sin(8x + 8) + C

Ответ:

1. F(x) = 3x^2 - 5x + C
2. F(x) = 8x + x^3 + C
3. F(x) = \frac{1}{8} \sin(8x + 8) + C