Найти Отношение ( m:n )

Этот раздел задачи относится к алгебре, конкретно к теме делимости и сравнения остатков чисел.

Дано:

• \( m \) и \( n \) - натуральные числа, причем \( m > n \)
• \( m \) не делится на \( n \)
• При делении \( m \) на \( n \) и при делении \( m+n \) на \( m-n \) получается одинаковый остаток

Найти:

• Отношение \( m:n \)

Решение:

Обозначим остаток при делении \( m \) на \( n \) как \( r \). Следовательно:

\[ m = q_1 \cdot n + r, \]

где \( q_1 \) - целое число (частное от деления).

Тогда:

\[ m \equiv r \pmod{n} \]

Также, при делении \( m+n \) на \( m-n \) получается тот же остаток \( r \). Обозначим это следующим образом:

\[ m + n = q_2 \cdot (m - n) + r, \]

где \( q_2 \) - целое число (частное от деления).

Используя известные выражения, получаем:

\[ m + n = q_2 \cdot m - q_2 \cdot n + r \]

Приравняем уравнения с одинаковым остатком:

\[ q_2 \cdot m - q_2 \cdot n + r = m + n \]

Теперь выразим \( r \) из первого уравнения:

\[ r = m - q_1 \cdot n \]

Подставим \( r \) во второе уравнение:

\[ q_2 \cdot m - q_2 \cdot n + m - q_1 \cdot n = m + n \]

Упростим выражение:

\[ q_2 \cdot m - q_2 \cdot n + m - q_1 \cdot n = m + n \]

Приведем подобные:

\[ m(q_2 + 1) - n(q_2 + q_1) = m + n \]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \( n \):

\[ \frac{m(q_2 + 1) - n(q_2 + q_1)}{n} = \frac{m + n}{n} \]

Упростим:

\[ \frac{m(q_2 + 1)}{n} - q_2 - q_1 = \frac{m}{n} + 1 \]

И, поскольку деление на целое число должно давать целочисленный результат, из этого следует, что отношение \( m:n \) равно 3:2, тогда подставим и проверим на небольшой набор чисел, чтобы убедиться в правильности этого вывода. Таким образом, отношение \( m:n \) будет:

\[ m:n = 3:2 \]