Найти остаток при делении

Предмет: Алгебра
Раздел: Деление многочленов, теорема Безу, деление с остатком

Нам нужно найти остаток при делении многочлена:

 \frac{x^{100} - x^{99} + x^{98}}{x^2 + x + 1} 

Обозначим:

• Делимое:  P(x) = x^{100} - x^{99} + x^{98} 
• Делитель:  D(x) = x^2 + x + 1 

Так как  \deg(P) = 100 , а  \deg(D) = 2 , то остаток при делении будет многочленом степени не выше 1, то есть:

 R(x) = ax + b 

Наша цель — найти коэффициенты  a  и  b .

Шаг 1. Корни делителя

Рассмотрим корни многочлена  D(x) = x^2 + x + 1 . Это — неприводимый многочлен над действительными числами, но имеет комплексные корни:

 x = \omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \quad x = \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} 

Это — корни из кубического корня из единицы, и они удовлетворяют:

 \omega^3 = 1, \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0 

Шаг 2. Подстановка корней в исходный многочлен

Так как  D(x) \mid P(x) - R(x) , то:

 P(\omega) = R(\omega), \quad P(\omega^2) = R(\omega^2) 

Посчитаем значения  P(\omega) = \omega^{100} - \omega^{99} + \omega^{98} 

Поскольку  \omega^3 = 1 , то:

•  \omega^{100} = \omega^{(3 \cdot 33 + 1)} = \omega^1 = \omega 
•  \omega^{99} = \omega^0 = 1 
•  \omega^{98} = \omega^{2} 

Подставим:

 P(\omega) = \omega - 1 + \omega^2 

Используем равенство  1 + \omega + \omega^2 = 0 \Rightarrow \omega + \omega^2 = -1 

Тогда:

 P(\omega) = -1 - 1 = -2 

Аналогично:

•  \omega^2 \Rightarrow (\omega^2)^3 = 1 
•  (\omega^2)^{100} = \omega^{200} = \omega^2 
•  (\omega^2)^{99} = \omega^0 = 1 
•  (\omega^2)^{98} = \omega^1 = \omega 

Тогда:

 P(\omega^2) = \omega^2 - 1 + \omega = -2 

Шаг 3. Система уравнений

Пусть  R(x) = ax + b . Тогда:

 R(\omega) = a\omega + b = -2 
 R(\omega^2) = a\omega^2 + b = -2 

Вычтем уравнения:

 (a\omega + b) - (a\omega^2 + b) = -2 + 2 \Rightarrow a(\omega - \omega^2) = 0 

Так как  \omega \ne \omega^2 , то  a = 0 

Подставим в любое уравнение:

 b = -2 

Ответ:

 \boxed{\text{Остаток } R(x) = -2}