Найти остаток от деления многочлена

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, деление многочленов

Нам нужно найти остаток от деления многочлена
[x^{100} - x^{99} + x^{98}]
на многочлен
[x^2 + x + 1].

Шаг 1: Понимание задачи

По теореме о делении многочленов, если делить многочлен степени [n] на многочлен степени [d], то остаток будет многочленом степени меньше [d].
Так как [x^2 + x + 1] — многочлен степени 2, остаток будет многочленом степени не выше 1, то есть он имеет вид:

[R(x) = ax + b]

Найдем этот остаток.

Шаг 2: Используем корни делителя

Многочлен [x^2 + x + 1] имеет комплексные корни. Найдём их:

 x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} 

Обозначим корни как:

 \omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}, \quad \omega^2 = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} 

Это — кубические корни из единицы, то есть:

 \omega^3 = 1, \quad 1 + \omega + \omega^2 = 0 

Шаг 3: Подставим корни в исходный многочлен

Обозначим:

 P(x) = x^{100} - x^{99} + x^{98} 

Найдём значения [P(\omega)] и [P(\omega^2)], так как:

 P(x) = (x^2 + x + 1) \cdot Q(x) + R(x) 

И если [x = \omega] — корень делителя, то:

 P(\omega) = R(\omega), \quad P(\omega^2) = R(\omega^2) 

Шаг 4: Упростим степени

Так как [\omega^3 = 1], то:

• [\omega^{98} = \omega^{(3 \cdot 32) + 2} = (\omega^3)^{32} \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2]
• [\omega^{99} = \omega^{3 \cdot 33} = 1]
• [\omega^{100} = \omega^{(3 \cdot 33) + 1} = 1 \cdot \omega = \omega]

Подставим в [P(\omega)]:

 P(\omega) = \omega^{100} - \omega^{99} + \omega^{98} = \omega - 1 + \omega^2 

Используем тождество [1 + \omega + \omega^2 = 0 \Rightarrow \omega + \omega^2 = -1]:

 P(\omega) = -1 - 1 = -2 

Аналогично:

• [\omega^2]^{98} = (\omega^2)^{98} = \omega^{196} = \omega^{(3 \cdot 65) + 1} = 1 \cdot \omega = \omega
• [\omega^2]^{99} = \omega^{198} = \omega^0 = 1
• [\omega^2]^{100} = \omega^{200} = \omega^2

Подставим:

 P(\omega^2) = \omega^2 - 1 + \omega = \omega + \omega^2 - 1 = -1 - 1 = -2 

Шаг 5: Восстановим остаток

Мы знаем, что:

 R(x) = ax + b 

И:

 R(\omega) = -2, \quad R(\omega^2) = -2 

Подставим:

• [a\omega + b = -2]
• [a\omega^2 + b = -2]

Вычтем уравнения:

 a\omega - a\omega^2 = 0 \Rightarrow a(\omega - \omega^2) = 0 

Так как [\omega \ne \omega^2], то [a = 0]. Тогда из любого уравнения:

 b = -2 

Ответ:

 \boxed{\text{Остаток } R(x) = -2}