Найти неопределенные интегралы

Предмет: Математика
Раздел: Интегральное исчисление

Рассмотрим нахождение неопределенных интегралов по отдельности.

1. Интеграл от 4x:
   [ \int 4x \,dx ] Используем стандартное правило интегрирования степенной функции:
   [ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1 ] В нашем случае n = 1, тогда:
   [ \int 4x \,dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C ]

2. Интеграл от (7x+3)(7x+3):
   [ \int (7x+3)^2 \,dx ] Используем замену u = 7x + 3, тогда du = 7dx или dx = \frac{du}{7}.
   Переписываем интеграл:
   [ \int u^2 \cdot \frac{du}{7} ] Вынесем \frac{1}{7} за знак интеграла:
   [ \frac{1}{7} \int u^2 \,du ] Используем правило интегрирования степенной функции:
   [ \frac{1}{7} \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{(7x+3)^3}{21} + C ]

3. Интеграл от 2:
   [ \int 2 \,dx ] Интеграл от константы a равен ax + C, тогда:
   [ \int 2 \,dx = 2x + C ]

4. Интеграл от \frac{dx}{2x+5}:
   [ \int \frac{dx}{2x+5} ] Используем замену u = 2x+5, тогда du = 2dx или dx = \frac{du}{2}.
   Тогда интеграл принимает вид:
   [ \int \frac{du}{2u} ] Вынесем \frac{1}{2}:
   [ \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} ] Интеграл от \frac{1}{u} равен \ln |u|:
   [ \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x+5| + C ]

Ответ:
[ \int 4x \,dx = 2x^2 + C ] [ \int (7x+3)^2 \,dx = \frac{(7x+3)^3}{21} + C ] [ \int 2 \,dx = 2x + C ] [ \int \frac{dx}{2x+5} = \frac{1}{2} \ln |2x+5| + C ]