Найти наибольшее возможное значение наибольшего корня

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, Теория уравнений

Дано уравнение:

$x^4-2x^3-3x^2+ax+b=0$

Сказано, что оно имеет ровно три различных действительных корня, один из которых $x=-1$. Нужно найти наибольшее возможное значение наибольшего корня.

Решение:

1. Анализ структуры уравнения
   Так как уравнение четвёртой степени, оно имеет 4 корня (с учетом кратных корней).
   Нам сказано, что различных корня три, значит, один из них является кратным.

2. Обозначим корни
   Пусть корни уравнения:
   $x_1=-1$,
   $x_2=\alpha$,
   $x_3=\beta$,
   $x_4=\beta$ (двукратный корень).

3. Представим уравнение в виде разложения на множители:
   Раз уравнение имеет корень $x=-1$ и кратный корень $x=\beta$, то его можно записать в виде:

   $(x+1)(x-\alpha )(x-\beta {)}^2=0$

   Раскрываем скобки:

   $(x+1)(x-\alpha )(x^2-2\beta x+{\beta }^2)=0$

   Раскрываем далее:

   $(x+1)(x^3-2\beta x^2+{\beta }^{2}x-\alpha x^2+2\alpha \beta x-\alpha {\beta }^2)=0$

   $x^4-2\beta x^3+{\beta }^2{x}^2-\alpha x^3+2\alpha \beta x^2-\alpha {\beta }^{2}x+x^3-2\beta x^2+{\beta }^{2}x-\alpha x^2+2\alpha \beta x-\alpha {\beta }^2=0$

   Приводим подобные:

   $x^4-(2\beta +\alpha -1)x^3+({\beta }^2-2\beta -\alpha +2\alpha \beta )x^2+({\beta }^2-\alpha {\beta }^2+2\alpha \beta )x-\alpha {\beta }^2=0$

   Сравниваем с данным уравнением:

   $x^4-2x^3-3x^2+ax+b=0$

   Получаем систему:

   1. $2\beta +\alpha -1=2$
   2. ${\beta }^2-2\beta -\alpha +2\alpha \beta =-3$
   3. ${\beta }^2-\alpha {\beta }^2+2\alpha \beta =a$
   4. $\alpha {\beta }^2=b$

4. Решаем систему
   Из первого уравнения:

   $\alpha =3-2\beta$

   Подставляем во второе:

   ${\beta }^2-2\beta -(3-2\beta )+2(3-2\beta )\beta =-3$

   Упрощаем:

   ${\beta }^2-2\beta -3+2\beta +6\beta -4{\beta }^2=-3$

   $-3{\beta }^2+6\beta -3=-3$

   $-3{\beta }^2+6\beta =0$

   $-3\beta (\beta -2)=0$

   Значит, $\beta =0$ или $\beta =2$.

5. Выбираем наибольший корень
   Если $\beta =2$, то $\alpha =3-2(2)=-1$.
   Тогда корни: $-1,-1,2$. Наибольший корень равен 2.

   Если $\beta =0$, то $\alpha =3$.
   Тогда корни: $-1,0,3$. Наибольший корень 3.

   Ответ:
   Наибольшее возможное значение наибольшего корня — 3.
   Ответ: 3.