Найти класс сопряженных подгрупп

Предмет: Абстрактная алгебра

Раздел: Теория групп

Нам нужно найти класс сопряженных подгрупп подгруппы [ \{\pm 1\} ] в группе кватернионов [ Q_8 ]. Рассмотрим задачу пошагово.

Шаг 1: Напоминание о группе кватернионов [ Q_8 ] Группа кватернионов [ Q_8 ] состоит из 8 элементов:

[ Q_8 = \{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \} ],
где умножение определяется следующим образом:

1. [ i^2 = j^2 = k^2 = -1 ],
2. [ ij = k, \, jk = i, \, ki = j ],
3. [ ji = -k, \, kj = -i, \, ik = -j ].

Шаг 2: Подгруппа [ \{\pm 1\} ]

Подгруппа [ \{\pm 1\} ] состоит из двух элементов:
[ \{\pm 1\} = \{1, -1\} ].
Это подгруппа порядка 2 в [ Q_8 ].

Шаг 3: Определение класса сопряженных подгрупп

Класс сопряженных подгрупп для подгруппы [ H ] в группе [ G ] состоит из всех подгрупп, которые можно получить сопряжением элементов из [ G ]:
[ gHg^{-1} = \{ghg^{-1} \mid h \in H\} ], где [ g \in G ].

Шаг 4: Проверка сопряжения для [ H = \{\pm 1\} ]

Рассмотрим подгруппу [ H = \{\pm 1\} ] и сопряжение с элементами [ g \in Q_8 ].
Для любого [ g \in Q_8 ] и [ h \in H ],
[ ghg^{-1} = g h g^{-1} ].

Так как [ h \in \{\pm 1\} ], а [ 1 ] и [ -1 ] коммутируют с любым элементом [ g ] (например, [ g1g^{-1} = 1 ] и [ g(-1)g^{-1} = -1 ]), то сопряжение не изменяет элементы подгруппы.

Шаг 5: Вывод

Сопряжение не изменяет подгруппу [ \{\pm 1\} ]. Таким образом, класс сопряженных подгрупп для [ \{\pm 1\} ] состоит только из самой подгруппы [ \{\pm 1\} ].

Ответ: Класс сопряженных подгрупп подгруппы [ \{\pm 1\} ] в группе [ Q_8 ] состоит из одной подгруппы: [ \{\pm 1\} ].