Найти группу внутренних автоморфизмов группы Q8

Предмет: Алгебра
Раздел: Теория групп

Давайте разберем задачу по шагам. Нам нужно найти группу внутренних автоморфизмов группы ( Q_8 ), где ( Q_8 ) — это группа кватернионов порядка 8.

Шаг 1: Определение группы ( Q_8 )

Группа ( Q_8 ) состоит из 8 элементов: [ Q_8 = { \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k }, ] где элементы ( i, j, k ) удовлетворяют следующим соотношениям: [ i^2 = j^2 = k^2 = -1, \quad ij = k, \quad ji = -k. ]

Шаг 2: Что такое внутренняя автоморфизм?

Внутренний автоморфизм группы определяется как отображение: [ \varphi_g(x) = g x g^{-1}, ] где ( g \in Q_8 ) и ( x \in Q_8 ). Все внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, которая обозначается как ( \text{Inn}(Q_8) ).

Шаг 3: Центр группы ( Q_8 )

Центр группы ( Q_8 ), обозначаемый как ( Z(Q_8) ), состоит из всех элементов группы, которые коммутируют с любым другим элементом. Для ( Q_8 ) это: [ Z(Q_8) = { \pm 1 }. ]

Шаг 4: Факторгруппа ( Q_8 / Z(Q_8) )

Группа внутренних автоморфизмов ( \text{Inn}(Q_8) ) изоморфна факторгруппе ( Q_8 / Z(Q_8) ). Поскольку ( Z(Q_8) = { \pm 1 } ), факторгруппа ( Q_8 / Z(Q_8) ) состоит из классов смежности: [ { {1, -1}, {i, -i}, {j, -j}, {k, -k} }. ] Эта группа изоморфна группе ( \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ), которая является абелевой группой порядка 4.

Шаг 5: Вывод

Группа внутренних автоморфизмов ( \text{Inn}(Q_8) ) изоморфна ( \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 ).