Найти единственный верный корень

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, квадратные уравнения

Рассмотрим уравнение:

\sqrt{2x^2 + 4x - 5} = x

1. Возведение в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

(\sqrt{2x^2 + 4x - 5})^2 = x^2

Это дает:

2x^2 + 4x - 5 = x^2

2. Приведение к стандартному виду

Перенесем все члены в одну сторону:

2x^2 + 4x - 5 - x^2 = 0

Упрощаем:

x^2 + 4x - 5 = 0

3. Решение квадратного уравнения

Это квадратное уравнение имеет вид:

ax^2 + bx + c = 0

где:

• a = 1,
• b = 4,
• c = -5.

Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac

D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36

Корни уравнения находим по формуле:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

Подставляем значения:

x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2(1)}

x = \frac{-4 \pm 6}{2}

4. Нахождение корней

Рассмотрим два случая:

1. x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1
2. x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5

5. Проверка корней

Подставим найденные значения в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни.

Для x = 1:

\sqrt{2(1)^2 + 4(1) - 5} = \sqrt{2 + 4 - 5} = \sqrt{1} = 1

Совпадает, значит x = 1 — верный корень.

Для x = -5:

\sqrt{2(-5)^2 + 4(-5) - 5} = \sqrt{50 - 20 - 5} = \sqrt{25} = 5

Но 5 \neq -5, значит x = -5 — посторонний корень.

6. Ответ

Единственный верный корень:

x = 1.