Найти длину второго катета и гипотенузы

Предмет: Геометрия

Раздел: Тригонометрия прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник
• Один из острых углов равен 30^\circ
• Катет, прилежащий к этому углу, равен 8 см

Найти:

1. Длину второго катета и гипотенузы
2. Синус, косинус и тангенс другого острого угла

Решение

1. Найдём гипотенузу:

В прямоугольном треугольнике с углом 30^\circ прилежащий катет равен половине гипотенузы:

 c = \frac{8}{\cos 30^\circ} 

Значение \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, тогда:

 c = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} 

Умножим числитель и знаменатель на \sqrt{3}:

 c = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 \text{ см} 

2. Найдём второй катет:

Используем тангенс угла 30^\circ:

 \tan 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} 

Так как \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, то:

 b = 8 \cdot \tan 30^\circ = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} 

Умножим числитель и знаменатель на \sqrt{3}:

 b = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 \text{ см} 

3. Найдём тригонометрические функции угла 60^\circ:

Так как второй острый угол равен 60^\circ, то:

• \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
• \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
• \tan 60^\circ = \sqrt{3}

Ответ:

1. Гипотенуза: \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24 см
   Второй катет: \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62 см
2. 
   
   • \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
   • \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
   • \tan 60^\circ = \sqrt{3}