Найдите точки пересечения функций

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, функции и их графики

Для нахождения точек пересечения двух функций (f(x)) и (g(x)), нужно решить уравнение (f(x) = g(x)), то есть приравнять правые части данных функций.

Дано: [ f(x) = x^3 + x^2 - 16x - 16 ] [ g(x) = 5x^2 - 80 ]

Приравниваем (f(x)) и (g(x)): [ x^3 + x^2 - 16x - 16 = 5x^2 - 80 ]

Приводим уравнение к стандартному виду: [ x^3 + x^2 - 5x^2 - 16x + 80 - 16 = 0 ] [ x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = 0 ]

Теперь решим кубическое уравнение: [ x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = 0 ]

Шаг 1: Нахождение одного корня методом подбора

Попробуем найти целый корень, используя теорему Виета. Возможные целые корни — делители свободного члена (64): (\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64).

Проверим (x = 4): [ f(4) = 4^3 - 4(4^2) - 16(4) + 64 = 64 - 64 - 64 + 64 = 0 ] Значит, (x = 4) — корень уравнения.

Шаг 2: Деление многочлена на ((x - 4))

Разделим (x^3 - 4x^2 - 16x + 64) на ((x - 4)) с помощью схемы Горнера или столбиком.

Результат деления: [ x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = (x - 4)(x^2 - 16) ]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Рассмотрим (x^2 - 16 = 0): [ x^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 4 ]

Таким образом, корни уравнения: [ x = 4 \quad \text{(повторный корень)}, \quad x = -4 ]

Шаг 4: Запись точек пересечения

Теперь подставим найденные значения (x = 4) и (x = -4) в одну из функций (например, (g(x))) для нахождения соответствующих значений (y).

Для (x = 4): [ g(4) = 5(4^2) - 80 = 5(16) - 80 = 80 - 80 = 0 ]

Для (x = -4): [ g(-4) = 5((-4)^2) - 80 = 5(16) - 80 = 80 - 80 = 0 ]

Ответ:

Точки пересечения функций: [ (4, 0) \quad \text{и} \quad (-4, 0) ]