Найди элемент максимального возможного порядка в мультипликативной группе A3

Предмет: Алгебра

Раздел: Теория полей и кольца

Мы решаем задачу нахождения элемента максимального возможного порядка в мультипликативной группе [A_3^*], где [A_3 = F_3[t] / Q(t)], а [Q(t) = t^4 + 2t^3 + t^2 + 2t + 1].

Шаг 1: Определение структуры [A_3]

Поле [F_3] — конечное поле из 3 элементов: [{0, 1, 2}].
Кольцо [F_3[t]] — это кольцо многочленов с коэффициентами из [F_3].

Многочлен [Q(t)] имеет степень 4. При делении кольца [F_3[t]] на идеал, порожденный [Q(t)], получаем фактор-кольцо:
[ A_3 = F_3[t] / Q(t) ].

Элементы [A_3] представляют собой классы вычетов многочленов степени меньше 4. То есть, каждый элемент [A_3] можно записать в виде:
[a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0],
где [a_3, a_2, a_1, a_0 \in F_3].

Всего таких многочленов [3^4 = 81].

Шаг 2: Убедимся, что [Q(t)] неприводим

Чтобы [A_3] было полем, многочлен [Q(t)] должен быть неприводимым над [F_3]. Проверим это:

1. [Q(t)] не имеет корней в [F_3]. Подставляем [t = 0, 1, 2]:

   • [Q(0) = 1 \neq 0],
   • [Q(1) = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7 \equiv 1 \pmod{3}],
   • [Q(2) = 16 + 16 + 4 + 4 + 1 = 41 \equiv 2 \pmod{3}].

2. Корней нет.

3. [Q(t)] нельзя разложить на многочлены меньших степеней. Проверяем делимость на неприводимые многочлены степени 2:

   • Возможные многочлены: [t^2 + t + 1] и [t^2 + 2t + 2].
   • Деление показывает, что [Q(t)] не делится на них.

Таким образом, [Q(t)] неприводим, а [A_3] — поле.

Шаг 3: Мультипликативная группа [A_3^*]

Мультипликативная группа [A_3^] состоит из всех ненулевых элементов поля [A_3]. Порядок этой группы равен:
 [ |A_3^| = |A_3| - 1 = 81 - 1 = 80 ].

Максимальный порядок элемента в конечной мультипликативной группе — это показатель группы, то есть [|A_3^*|].

Шаг 4: Поиск элемента максимального порядка

Для нахождения элемента максимального порядка нужно найти элемент, порядок которого равен [|A_3^| = 80]. Порядок элемента [x \in A_3^] определяется как наименьшее натуральное число [n], для которого:
[x^n \equiv 1 \pmod{Q(t)}].

Максимальный возможный порядок элемента в группе [A_3^*] равен [80], если [80] — показатель группы.

Ответ:

Элемент максимального порядка в мультипликативной группе [A_3^*] имеет порядок [80].