Нахождение целой части и остатка от деления многочлена на многочлен производится по алгоритму ...

Предмет: Алгебра
Раздел: Деление многочленов

Для нахождения целой части и остатка от деления одного многочлена на другой используется алгоритм деления многочленов "столбиком". Этот процесс аналогичен делению чисел в столбик, но вместо чисел работают коэффициенты многочленов.

Алгоритм деления многочленов:

1. Запись многочленов: Пусть есть два многочлена:

   • Делимое: [P(x)]
   • Делитель: [D(x)], где степень [D(x)] больше 0 (то есть [D(x)] не является константой).

2. Определение целой части: Делим старший член делимого [P(x)] на старший член делителя [D(x)]. Результат записывается как первый член частного [Q(x)].

3. Вычисление промежуточного произведения: Умножаем делитель [D(x)] на найденный член частного и вычитаем получившийся многочлен из делимого. Это дает новый остаток.

4. Повторение процесса: Повторяем шаги 2-3 до тех пор, пока степень остатка [R(x)] станет меньше степени делителя [D(x)].

5. Результат: Деление завершается, когда остаток имеет меньшую степень, чем делитель. Тогда:

   • [P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)], где [Q(x)] — это целая часть (частное), а [R(x)] — остаток.

Пример:

Разделим многочлен [P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6] на [D(x) = x - 2].

1. Шаг 1: Делим старший член [x^3] на старший член [x]. Получаем [x^2].

   • Частное: [Q(x) = x^2].

2. Шаг 2: Умножаем [x^2] на [x - 2]: [x^2 \cdot (x - 2) = x^3 - 2x^2].

   • Вычитаем: [(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6].

3. Шаг 3: Делим старший член [-4x^2] на [x]. Получаем [-4x].

   • Частное: [Q(x) = x^2 - 4x].

4. Шаг 4: Умножаем [-4x] на [x - 2]: [-4x \cdot (x - 2) = -4x^2 + 8x].

   • Вычитаем: [(-4x^2 + 11x - 6) - (-4x^2 + 8x) = 3x - 6].

5. Шаг 5: Делим старший член [3x] на [x]. Получаем [3].

   • Частное: [Q(x) = x^2 - 4x + 3].

6. Шаг 6: Умножаем [3] на [x - 2]: [3 \cdot (x - 2) = 3x - 6].

   • Вычитаем: [(3x - 6) - (3x - 6) = 0].

Итак, результат деления:

• Частное: [Q(x) = x^2 - 4x + 3].
• Остаток: [R(x) = 0].

Итоговое равенство: P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x), или: x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x^2 - 4x + 3) \cdot (x - 2) + 0.

Таким образом, алгоритм деления многочленов позволяет найти как целую часть (частное), так и остаток.