Интеграл и резульат проверить дифференцированием

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление

Дана функция:
\int \left(\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6\right)dx

1. Найдем неопределенный интеграл:

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

1. \int \frac{1}{3}x^3 dx
   = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{12}

2. \int 2\sqrt[3]{x} dx
   Представим \sqrt[3]{x} как x^{1/3}:
   \int 2x^{1/3} dx = 2 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} = 2 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = \frac{6}{4} x^{4/3} = \frac{3}{2} x^{4/3}

3. \int 6 dx = 6x

Добавим константу интегрирования C:

\int \left(\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6\right)dx = \frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{4/3} + 6x + C

2. Проверим результат дифференцированием:

Дифференцируем F(x) = \frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{4/3} + 6x + C:

1. \frac{d}{dx} \left(\frac{x^4}{12}\right) = \frac{4}{12}x^3 = \frac{1}{3}x^3
2. \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{2} x^{4/3} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} x^{1/3} = 2x^{1/3} = 2\sqrt[3]{x}
3. \frac{d}{dx} (6x) = 6
4. \frac{d}{dx} C = 0

Получаем исходную функцию:
\frac{1}{3}x^3 + 2\sqrt[3]{x} + 6, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ:
\frac{x^4}{12} + \frac{3}{2} x^{4/3} + 6x + C