Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень x0=a+ib, то корнем этого многочлена также является..

Предмет: Алгебра
Раздел предмета: Теория многочленов

Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень x_0 = a + ib, то из свойств многочленов с действительными коэффициентами следует, что комплексные корни таких многочленов всегда сопряжены.

Это означает, что корнем данного многочлена также является комплексно-сопряжённое число \overline{x_0} = a - ib.

Обоснование:

1. Пусть многочлен задан в общем виде: P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0,
   где все коэффициенты a_n, a_{n-1}, \dots, a_0 — действительные числа.

2. Если x_0 = a + ib является корнем многочлена, то выполняется равенство: P(x_0) = 0.

3. При этом, если все коэффициенты многочлена действительные, то при взятии комплексного сопряжения от уравнения P(x_0) = 0, мы получаем: \overline{P(x_0)} = P(\overline{x_0}) = 0.

4. Следовательно, \overline{x_0} = a - ib также является корнем многочлена P(x).

Таким образом, если многочлен с действительными коэффициентами имеет один комплексный корень, то второй корень обязательно будет его комплексно-сопряжённым.