Доказать, что группы изоморфны

Предмет: Алгебра
Раздел: Теория групп

Нам нужно доказать, что группы Z_3 \times Z_{18} и Z_6 \times Z_9 изоморфны. Для этого мы будем использовать свойства порядков элементов в прямом произведении групп.

Шаг 1: Определение структуры групп

• Группа Z_3 \times Z_{18} — это прямая сумма двух циклических групп: Z_3 порядка 3 и Z_{18} порядка 18.
• Группа Z_6 \times Z_9 — это прямая сумма двух циклических групп: Z_6 порядка 6 и Z_9 порядка 9.

Шаг 2: Порядок элементов в прямом произведении

Пусть (a, b) — элемент прямого произведения Z_m \times Z_n. Тогда порядок элемента (a, b) равен наименьшему общему кратному (НОК) порядков элементов a и b:

 \text{ord}((a, b)) = \text{НОК}(\text{ord}(a), \text{ord}(b)). 

Шаг 3: Проверка порядков элементов в Z_3 \times Z_{18}

1. В группе Z_3 элементы имеют порядки: 1, 3.
2. В группе Z_{18} элементы имеют порядки: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
3. В прямом произведении Z_3 \times Z_{18} элементы имеют порядки, определяемые как НОК порядков элементов из Z_3 и Z_{18}. Возможные НОК:
   • Для \text{ord}(a) = 1 и \text{ord}(b) = 1, 2, 3, 6, 9, 18: НОК = 1, 2, 3, 6, 9, 18.
   • Для \text{ord}(a) = 3 и \text{ord}(b) = 1, 2, 3, 6, 9, 18: НОК = 3, 6, 9, 18.
4. Итог: Возможные порядки элементов в Z_3 \times Z_{18}: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Шаг 4: Проверка порядков элементов в Z_6 \times Z_9

1. В группе Z_6 элементы имеют порядки: 1, 2, 3, 6.
2. В группе Z_9 элементы имеют порядки: 1, 3, 9.
3. В прямом произведении Z_6 \times Z_9 элементы имеют порядки, определяемые как НОК порядков элементов из Z_6 и Z_9. Возможные НОК:
   • Для \text{ord}(a) = 1, 2, 3, 6 и \text{ord}(b) = 1, 3, 9: НОК = 1, 2, 3, 6, 9, 18.
4. Итог: Возможные порядки элементов в Z_6 \times Z_9: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Шаг 5: Сравнение порядков элементов

Мы видим, что множества порядков элементов в Z_3 \times Z_{18} и Z_6 \times Z_9 совпадают: \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}.

Шаг 6: Вывод

Так как множества порядков элементов совпадают, а обе группы имеют одинаковый порядок (число элементов равно 3 \cdot 18 = 54 и 6 \cdot 9 = 54), группы Z_3 \times Z_{18} и Z_6 \times Z_9 изоморфны.

Z_3 \times Z_{18} \cong Z_6 \times Z_9.