Доказать, что группа G абелева

Предмет: Алгебра

Раздел: Теория групп

Дано:

• Элементы \alpha и \beta принадлежат группе перестановок S_7.
• Группа G = \langle \alpha, \beta \rangle.
• \alpha = (1, 2, 3, 4) (цикл длины 4).
• \beta = (5, 6, 7) (цикл длины 3).

Требуется:

1. Найти подгруппы \langle \alpha \rangle и \langle \beta \rangle.
2. Доказать, что группа G абелева.
3. Показать, что G = \langle \alpha \rangle \times \langle \beta \rangle.

Решение:

Шаг 1. Найдём подгруппы \langle \alpha \rangle и \langle \beta \rangle.

1. Элемент \alpha — это цикл длины 4, поэтому порядок элемента \alpha равен 4. Подгруппа \langle \alpha \rangle состоит из элементов:
   \langle \alpha \rangle = \{e, \alpha, \alpha^2, \alpha^3\}, где:

   • e — тождественная перестановка,
   • \alpha^2 = (1, 3)(2, 4),
   • \alpha^3 = (1, 4, 3, 2).

2. Элемент \beta — это цикл длины 3, поэтому порядок элемента \beta равен 3. Подгруппа \langle \beta \rangle состоит из элементов:
   \langle \beta \rangle = \{e, \beta, \beta^2\}, где:

   • \beta^2 = (5, 7, 6).

Шаг 2. Докажем, что группа G абелева.

Для доказательства абелевости группы нужно показать, что элементы \alpha и \beta коммутируют, то есть \alpha \beta = \beta \alpha.

Заметим, что множества элементов, на которые действуют \alpha и \beta, не пересекаются:

• \alpha действует на элементы \{1, 2, 3, 4\},
• \beta действует на элементы \{5, 6, 7\}.

Так как \alpha и \beta действуют на разных множествах, их действия независимы, и они коммутируют:
\alpha \beta = \beta \alpha.

Следовательно, группа G абелева.

Шаг 3. Покажем, что G = \langle \alpha \rangle \times \langle \beta \rangle.

1. Порядок \langle \alpha \rangle равен 4, а порядок \langle \beta \rangle равен 3. Так как \alpha и \beta независимы (действуют на разных множествах), их порядки взаимно просты.

2. Согласно теореме о прямом произведении групп, если:

   • \alpha и \beta коммутируют,
   • их порядки взаимно просты,
     то группа G изоморфна прямому произведению \langle \alpha \rangle и \langle \beta \rangle.

Таким образом, G = \langle \alpha \rangle \times \langle \beta \rangle.

Ответ:

1. \langle \alpha \rangle = \{e, \alpha, \alpha^2, \alpha^3\}, где \alpha^2 = (1, 3)(2, 4), \alpha^3 = (1, 4, 3, 2).
   \langle \beta \rangle = \{e, \beta, \beta^2\}, где \beta^2 = (5, 7, 6).

2. Группа G абелева.

3. G = \langle \alpha \rangle \times \langle \beta \rangle.