Дать определения гомоморфизма груп, ядра и образа гомоморфизма

Предмет: Алгебра

Раздел: Теория групп

Задание включает несколько частей, связанных с основными понятиями теории групп, такими как гомоморфизм, ядро и образ гомоморфизма. Также требуется доказать, что определенное отображение является гомоморфизмом, и найти его ядро и образ.

1. Определения

Гомоморфизм группы

Гомоморфизм между двумя группами ( G ) и ( H ) — это отображение ( f: G \to H ), которое сохраняет групповую операцию. То есть, для любых элементов ( a, b \in G ) выполняется:
f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),
где ( \cdot ) обозначает операцию в соответствующих группах.

Ядро гомоморфизма

Ядро гомоморфизма ( f: G \to H ) — это множество всех элементов группы ( G ), которые отображаются в нейтральный элемент группы ( H ):
\ker(f) = \{ g \in G \ | \ f(g) = e_H \},
где ( e_H ) — нейтральный элемент группы ( H ).

Образ гомоморфизма

Образ гомоморфизма ( f: G \to H ) — это множество всех значений, которые принимает отображение ( f ):
\text{Im}(f) = \{ h \in H \ | \ h = f(g), \ g \in G \}.

2. Доказательство, что ( f(x) = x^2 ) является гомоморфизмом

Рассмотрим группы ( \mathbb{Z}_{16} ) (группа вычетов по модулю 16) с операцией сложения по модулю 16. Отображение задано как ( f(x) = x^2 ).

Проверка свойства гомоморфизма

Нужно доказать, что для любых ( a, b \in \mathbb{Z}_{16} ) выполняется:
f(a + b) = f(a) + f(b) \mod 16.

1. По определению отображения:
   f(a + b) = (a + b)^2 \mod 16.

2. Раскроем квадрат суммы:
   (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

3. Заметим, что ( 2ab \mod 16 ) всегда делится на ( 16 ) (так как ( 2ab ) — четное, а остаток по модулю 16 от четного числа всегда равен 0). Следовательно:
   (a + b)^2 \mod 16 = a^2 \mod 16 + b^2 \mod 16.

4. Это равенство эквивалентно:
   f(a + b) = f(a) + f(b) \mod 16.

Таким образом, отображение ( f(x) = x^2 ) сохраняет операцию сложения, и значит, является гомоморфизмом.

3. Нахождение ядра ( \ker(f) )

Ядро гомоморфизма — это множество всех элементов ( x \in \mathbb{Z}_{16} ), для которых ( f(x) = 0 \mod 16 ).

1. По определению ( f(x) = x^2 ), значит, нужно решить уравнение:
   x^2 \mod 16 = 0.

2. Это уравнение выполняется, если ( x^2 ) делится на 16. Возможные значения ( x ) при вычислении ( x^2 \mod 16 ):

   • Если ( x = 0 ), то ( x^2 = 0 \mod 16 ).
   • Если ( x = 4 ), то ( x^2 = 16 \mod 16 = 0 ).
   • Если ( x = 8 ), то ( x^2 = 64 \mod 16 = 0 ).
   • Если ( x = 12 ), то ( x^2 = 144 \mod 16 = 0 ).

Таким образом, ядро гомоморфизма:
\ker(f) = \{0, 4, 8, 12\}.

4. Нахождение образа ( \text{Im}(f) )

Образ гомоморфизма — это множество всех значений ( f(x) ) при ( x \in \mathbb{Z}_{16} ):
\text{Im}(f) = \{x^2 \mod 16 \ | \ x \in \mathbb{Z}_{16}\}.

1. Рассмотрим все значения ( x \in \mathbb{Z}_{16} ): ( x = 0, 1, 2, \dots, 15 ).
2. Вычислим ( x^2 \mod 16 ):
   • ( 0^2 \mod 16 = 0 ),
   • ( 1^2 \mod 16 = 1 ),
   • ( 2^2 \mod 16 = 4 ),
   • ( 3^2 \mod 16 = 9 ),
   • ( 4^2 \mod 16 = 0 ),
   • ( 5^2 \mod 16 = 9 ),
   • ( 6^2 \mod 16 = 4 ),
   • ( 7^2 \mod 16 = 1 ),
   • ( 8^2 \mod 16 = 0 ),
   • Аналогично для остальных ( x ): значения будут повторяться.

Итоговое множество значений:
\text{Im}(f) = \{0, 1, 4, 9\}.

Ответ:

1. ( f(x) = x^2 ) является гомоморфизмом.
2. Ядро гомоморфизма: \ker(f) = \{0, 4, 8, 12\}.
3. Образ гомоморфизма: \text{Im}(f) = \{0, 1, 4, 9\}.