Дано определённое интегрирование

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы

Дано определённое интегрирование:

\int\limits_{-2}^{5} 5x^2 \, dx

Рассчитаем этот интеграл шаг за шагом.

1. Найдём первообразную функции

Функция, подынтегральное выражение:

5x^2

Примитивная функция для x^n находится по формуле:

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Применим это к 5x^2:

\int 5x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3} x^3

2. Вычислим определённый интеграл

Подставляем пределы интегрирования x = 5 и x = -2:

 \left[ \frac{5}{3} x^3 \right]_{-2}^{5} = \frac{5}{3} \cdot 5^3 - \frac{5}{3} \cdot (-2)^3 

Вычисляем:

 \frac{5}{3} \cdot 125 - \frac{5}{3} \cdot (-8) = \frac{625}{3} + \frac{40}{3} = \frac{665}{3} 

Ответ:

\frac{665}{3} или в десятичной форме 221.\overline{6}.