Алгебра, тригонометрическая форма корней уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Алгебра, тригонометрическая форма корней уравнения

Рассмотрим данное уравнение:

x^3 - 6x - \sqrt{24} = 0

Шаг 1: Найдём корни уравнения

Это кубическое уравнение, попробуем найти его корни с помощью метода подбора или тригонометрической формы.

Используем метод Кардано или тригонометрическую подстановку. Кубическое уравнение вида:

x^3 - px - q = 0

может быть решено с помощью тригонометрической подстановки:

x = r \cos \theta

где r = 2\sqrt{\frac{p}{3}} и углы \theta находятся из уравнения косинуса.

Шаг 2: Подставим значения

В данном случае p = 6 и q = \sqrt{24}. Тогда:

r = 2\sqrt{\frac{6}{3}} = 2\sqrt{2}

Корни записываются в виде:

x_k = 2\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3} \right), \quad k = 0,1,2

Максимальный корень:

x_{\max} = 2\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{9}

Минимальный корень:

x_{\min} = 2\sqrt{2} \cos \left(\frac{5\pi}{9} \right)

Шаг 3: Вычислим выражение

Нам нужно найти:

\frac{x_{\max} - x_{\min}}{\cos \frac{\pi}{9}}

Подставим значения:

\frac{2\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{9} - 2\sqrt{2} \cos \frac{5\pi}{9}}{\cos \frac{\pi}{9}}

Используем формулу разности косинусов:

\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}

Подставляя A = \frac{\pi}{9} и B = \frac{5\pi}{9}, получаем:

\cos \frac{\pi}{9} - \cos \frac{5\pi}{9} = -2 \sin \frac{6\pi}{9} \sin \frac{-4\pi}{9}

Учитывая, что \sin (-x) = -\sin x, получаем:

-2 (-\sin \frac{2\pi}{3} \sin \frac{4\pi}{9}) = 2 \sin \frac{2\pi}{3} \sin \frac{4\pi}{9}

Так как \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, то:

2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{4\pi}{9} = \sqrt{3} \sin \frac{4\pi}{9}

Тогда:

\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \sin \frac{4\pi}{9}}{\cos \frac{\pi}{9}}

Используем приближения:

\sin \frac{4\pi}{9} = \cos \frac{\pi}{9}

Тогда сокращаем:

2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}

Ответ: 2\sqrt{6}