Алгебра, теория уравнений и тригонометрия

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Алгебра, теория уравнений и тригонометрия

Решение

Дано уравнение:
x^3 - 6x - \sqrt{24} = 0

1. Найдём корни уравнения

Рассмотрим уравнение:
x^3 - 6x - \sqrt{24} = 0

Подберём целые корни с помощью метода рациональных корней. Подставим x = 2:

2^3 - 6(2) - \sqrt{24} = 8 - 12 - \sqrt{24} = -4 - \sqrt{24} \neq 0

Попробуем x = -2:

(-2)^3 - 6(-2) - \sqrt{24} = -8 + 12 - \sqrt{24} = 4 - \sqrt{24} \neq 0

Используем теорему Виета: сумма корней равна 0, а произведение корней равно \sqrt{24}.

Корни уравнения находятся по тригонометрической форме. Они имеют вид:

x_k = 2\cos\left(\frac{\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2

Тогда:

• x_{\max} = 2\cos(0) = 2
• x_{\min} = 2\cos(\frac{2\pi}{3}) = -1

2. Вычислим выражение

Нам нужно найти:

\left( \frac{x_{\max} - x_{\min}}{\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)} \right)^2

Подставляем значения:

x_{\max} - x_{\min} = 2 - (-1) = 3

Тогда:

\left( \frac{3}{\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)} \right)^2 = \frac{9}{\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)}

Ответ:

\frac{9}{\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)}