Теорема о разложении циклической группы в прямую сумму циклических групп

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел предмета: Теория групп

Теорема о разложении циклической группы в прямую сумму циклических групп:

Пусть [G] — конечная циклическая группа порядка [n]. Тогда [G] изоморфна прямой сумме циклических групп порядка [d_1, d_2, \dots, d_k], где [d_1, d_2, \dots, d_k] удовлетворяют следующим условиям:

1. [d_1 \cdot d_2 \cdot \dots \cdot d_k = n] (произведение порядков равно порядку исходной группы [G]),
2. [di] делит [d{i+1}] для всех [i = 1, 2, \dots, k-1] (каждый порядок делится на следующий).

Пояснение теоремы

Циклическая группа [G] порядка [n] может быть представлена как прямая сумма циклических подгрупп меньших порядков. Это разложение связано с фундаментальной теоремой арифметики, так как порядок группы [n] можно разложить на произведение простых чисел и их степеней.

Для примера, если [n = 12], то разложение может быть следующим:

• [G \cong \mathbb{Z}_{12}] (группа целых чисел по модулю 12),
• [\mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_3] (прямая сумма двух циклических групп порядка 4 и 3).

Доказательство (эскиз)

1. Свойства циклической группы: Любая конечная циклическая группа [G] порядка [n] изоморфна группе [\mathbb{Z}_n], где [\mathbb{Z}_n] — группа классов вычетов по модулю [n]. Элементы [\mathbb{Z}_n] можно представить как [{0, 1, \dots, n-1}].

2. Разложение порядка [n]: Используя разложение числа [n] на делители, можно построить подгруппы порядка [d_i], которые порождают циклические группы.

3. Прямая сумма: Каждая подгруппа вкладывается в прямую сумму так, чтобы их произведение давало исходный порядок [n].

4. Критерий делимости: Условие [di | d{i+1}] необходимо для корректного вложения подгрупп друг в друга.

Пример

Рассмотрим группу [\mathbb{Z}_{20}] (циклическая группа порядка 20). Ее можно разложить на прямую сумму циклических групп следующим образом:

• [\mathbb{Z}_{20} \cong \mathbb{Z}_4 \oplus \mathbb{Z}_5], где [4 \cdot 5 = 20], и [4] делит [20].

Это разложение показывает, что любой элемент группы [\mathbb{Z}_{20}] можно записать в виде пары [ (a, b) ], где [a \in \mathbb{Z}_4] и [b \in \mathbb{Z}_5].

Если нужно более подробное объяснение или примеры, дайте знать!