Найти ядро и образ

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Группы и гомоморфизмы

Дано:
Группа G = \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_{12}, где \mathbb{Z}_n обозначает аддитивную циклическую группу порядка n.
Гомоморфизм задан как f(x) = 4x. Требуется найти ядро \ker(f) и образ \text{Im}(f) этого отображения.

1. Определение ядра и образа

• Ядро: Ядро гомоморфизма f — это множество всех элементов g \in G, таких что f(g) = 0 (нулевой элемент группы).
  Формально:
  \ker(f) = \{g \in G \mid f(g) = 0\}.

• Образ: Образ гомоморфизма f — это множество всех значений, которые принимает f на элементах группы G.
  Формально:
  \text{Im}(f) = \{f(g) \mid g \in G\}.

2. Группа G = \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_{12}

Элементы группы G имеют вид пар (a, b), где:

• a \in \mathbb{Z}_4 = \{0, 1, 2, 3\},
• b \in \mathbb{Z}_{12} = \{0, 1, 2, \dots, 11\}.

Операция в группе — покомпонентное сложение по модулю: (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2 \mod 4, b_1 + b_2 \mod 12).

3. Гомоморфизм f

Гомоморфизм f действует на элементы группы G так:
f(a, b) = 4(a, b) = (4a, 4b).

Заметим, что:

• 4a вычисляется по модулю 4, так что 4a \mod 4 = 0 (всегда).
• 4b вычисляется по модулю 12.

Итак, гомоморфизм задаётся как:
f(a, b) = (0, 4b \mod 12).

4. Ядро \ker(f)

Чтобы найти ядро, решим уравнение f(a, b) = (0, 0), то есть: (0, 4b \mod 12) = (0, 0).

Это выполняется, если:

1. 4b \mod 12 = 0, то есть 4b делится на 12.
   Решение: b = 0, 3, 6, 9 (по модулю 12).
2. Для a ограничений нет, так как 4a \mod 4 = 0 всегда.

Итак, ядро:
\ker(f) = \{(a, b) \mid a \in \mathbb{Z}_4, b \in \{0, 3, 6, 9\}\}.

Размер ядра:
|\ker(f)| = 4 \cdot 4 = 16 (4 значения для a и 4 значения для b).

5. Образ \text{Im}(f)

Образ состоит из всех значений (0, 4b \mod 12), где b \in \mathbb{Z}_{12}.
Рассмотрим значения 4b \mod 12 при b = 0, 1, 2, \dots, 11:

• 4 \cdot 0 \mod 12 = 0,
• 4 \cdot 1 \mod 12 = 4,
• 4 \cdot 2 \mod 12 = 8,
• 4 \cdot 3 \mod 12 = 0,
  и далее значения начинают повторяться.

Итак, возможные значения: \{0, 4, 8\}.

Образ:
\text{Im}(f) = \{(0, 0), (0, 4), (0, 8)\}.

Размер образа:
|\text{Im}(f)| = 3.

6. Ответ

• Ядро: \ker(f) = \{(a, b) \mid a \in \mathbb{Z}_4, b \in \{0, 3, 6, 9\}\}.
• Образ: \text{Im}(f) = \{(0, 0), (0, 4), (0, 8)\}.