Найти все циклические подгруппы группы

Предмет: Абстрактная алгебра

Раздел: Теория групп

Задача:

Найти все циклические подгруппы группы ( G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 ).

Решение:

Группа ( G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 ) является прямым произведением двух конечных циклических групп:

• ( \mathbb{Z}_2 = {0, 1} ) — циклическая группа порядка 2.
• ( \mathbb{Z}_4 = {0, 1, 2, 3} ) — циклическая группа порядка 4.

Элементы группы ( G ) можно записать в виде упорядоченных пар:
[ G = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}. ]

Шаг 1: Проверка, какие элементы ( G ) порождают циклические подгруппы.

Для элемента ( (a, b) \in G ), порожденная подгруппа ( \langle (a, b) \rangle ) состоит из всех целых кратных элемента ( (a, b) ):
[ \langle (a, b) \rangle = { k \cdot (a, b) \mid k \in \mathbb{Z} }. ]

Компоненты вычисляются по модулю:
[ k \cdot (a, b) = (k \cdot a \mod 2, k \cdot b \mod 4). ]

Порядок элемента ( (a, b) ) равен наименьшему общему кратному (НОК) порядков его компонент.

Шаг 2: Определение порядка элементов.

1. Элемент ( (0, 0) ):
   [ k \cdot (0, 0) = (0, 0) \quad \forall k. ]
   Порядок элемента ( (0, 0) ) равен 1.

2. Элементы вида ( (0, b) ), где ( b \neq 0 ):

   • Если ( b = 1 ), то порядок ( b ) равен 4.
   • Если ( b = 2 ), то порядок ( b ) равен 2.
   • Если ( b = 3 ), то порядок ( b ) равен 4.
     Таким образом:
   • ( (0, 1) ) порождает подгруппу порядка 4.
   • ( (0, 2) ) порождает подгруппу порядка 2.
   • ( (0, 3) ) порождает подгруппу порядка 4.

3. Элементы вида ( (1, b) ):

   • Порядок компоненты ( 1 ) равен 2.
   • Порядок компоненты ( b ) зависит от значения ( b ):
     • Если ( b = 0 ), то порядок ( (1, 0) ) равен 2.
     • Если ( b = 1 ), то порядок ( (1, 1) ) равен НОК(2, 4) = 4.
     • Если ( b = 2 ), то порядок ( (1, 2) ) равен НОК(2, 2) = 2.
     • Если ( b = 3 ), то порядок ( (1, 3) ) равен НОК(2, 4) = 4.

Шаг 3: Проверка порожденных подгрупп.

Теперь для каждого элемента ( (a, b) ) мы можем выписать порожденные подгруппы.

1. Элемент ( (0, 0) ):
   [ \langle (0, 0) \rangle = {(0, 0)}. ]

2. Элементы ( (0, b) ):

   • ( \langle (0, 1) \rangle = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}. )
   • ( \langle (0, 2) \rangle = {(0, 0), (0, 2)}. )
   • ( \langle (0, 3) \rangle = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}. )

3. Элементы ( (1, b) ):

   • ( \langle (1, 0) \rangle = {(0, 0), (1, 0)}. )
   • ( \langle (1, 1) \rangle = {(0, 0), (1, 1), (0, 2), (1, 3)}. )
   • ( \langle (1, 2) \rangle = {(0, 0), (1, 2)}. )
   • ( \langle (1, 3) \rangle = {(0, 0), (1, 3), (0, 2), (1, 1)}. )

Ответ:

Все циклические подгруппы группы ( G = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 ):

1. ( {(0, 0)} )
2. ( {(0, 0), (0, 2)} )
3. ( {(0, 0), (1, 0)} )
4. ( {(0, 0), (1, 2)} )
5. ( {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)} )
6. ( {(0, 0), (1, 1), (0, 2), (1, 3)} )
7. ( {(0, 0), (1, 3), (0, 2), (1, 1)} )