Найти порядок перестановки a

Условие:

постановка a = (1 2 3 4)(2 4 6) принадлежит S6 найти ord a и

Решение:

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп

Дано: Перестановка a = (1\ 2\ 3\ 4)(2\ 4\ 6) из симметрической группы S_6.
Требуется: Найти порядок перестановки a (обозначим как \text{ord}(a)) и подгруппу \langle a \rangle, порожденную элементом a.

Шаг 1. Упрощение перестановки

Перестановка a записана в виде произведения двух циклов: (1\ 2\ 3\ 4) и (2\ 4\ 6). Для начала мы определим, как они взаимодействуют.

Применение перестановки:

  1. Рассмотрим действие (1\ 2\ 3\ 4):

  2. Рассмотрим действие (2\ 4\ 6):

Теперь мы определим итоговое действие перестановки, применяя циклы справа налево (по определению композиции перестановок).

Применение перестановки к элементам:

Итак, перестановка a в циклической записи:
a = (1\ 2)(3\ 4\ 6).

Шаг 2. Определение порядка \text{ord}(a)

Порядок перестановки равен наименьшему общему кратному (НОК) длин ее независимых циклов.

Значит,
\text{ord}(a) = \text{НОК}(2, 3) = 6.

Шаг 3. Подгруппа \langle a \rangle

Подгруппа \langle a \rangle, порожденная элементом a, состоит из всех степеней a:
\langle a \rangle = \{e, a, a^2, a^3, a^4, a^5\},
где e — нейтральный элемент (т.е. тождественная перестановка).

Степени a можно вычислить, применяя перестановку к себе несколько раз, но общий вывод: подгруппа \langle a \rangle состоит из всех перестановок, которые можно получить из a.

Ответ:

  1. Порядок перестановки: \text{ord}(a) = 6.
  2. Подгруппа: \langle a \rangle = \{e, a, a^2, a^3, a^4, a^5\}.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ: