Изучение симметрических групп и их подгрупп

Условие:

a=(14)(235) принадлежит S5 G =  G - нормальная подгруппа в S5?

Решение:

Предмет: Абстрактная алгебра

Раздел: Теория групп

Задача связана с изучением симметрических групп и их подгрупп. Мы будем анализировать, является ли заданная подгруппа нормальной в симметрической группе.

Дано:

  1. Элемент ( a = (14)(235) ), который принадлежит симметрической группе ( S_5 ) (группе всех перестановок множества из 5 элементов).
  2. Подгруппа ( G = \langle a \rangle ), порожденная элементом ( a ).
  3. Нужно проверить, является ли ( G ) нормальной подгруппой в ( S_5 ).

Шаг 1. Определим порядок элемента ( a )

Элемент ( a ) записан в виде произведения двух независимых циклов: [ a = (14)(235). ] Порядок элемента в симметрической группе равен наименьшему общему кратному (НОК) длин независимых циклов.

Следовательно, порядок элемента ( a ): [ \text{порядок}(a) = \text{НОК}(2, 3) = 6. ]

Таким образом, подгруппа ( G = \langle a \rangle ) является циклической подгруппой порядка 6.

Шаг 2. Проверим, является ли ( G ) нормальной в ( S_5 )

Подгруппа ( G ) нормальна в ( S_5 ), если для любого элемента ( g \in S_5 ) выполняется: [ g G g^{-1} = G. ]

Иначе говоря, ( G ) будет нормальной, если она инвариантна относительно сопряжения в ( S_5 ).

Основное свойство нормальности:

Циклическая подгруппа ( G ) будет нормальной в ( S_5 ), если её порядок делит порядок всей группы ( S_5 ). Порядок ( S_5 ) равен ( 5! = 120 ). Порядок подгруппы ( G ) равен 6. Так как 6 не делит 120 (точнее, делит, но это не гарантирует нормальность), необходимо дополнительно проверить сопряжение.

Проверка сопряжения:

Для проверки нормальности нужно убедиться, что элемент ( a ) после сопряжения любым ( g \in S_5 ) остаётся в подгруппе ( G ). Однако известно, что в ( S_5 ) подгруппы, порождённые элементами порядка 6, как правило, не являются нормальными, так как множество всех сопряжённых элементов порождает большее множество, чем сама подгруппа ( G ).

Ответ:

Подгруппа ( G = \langle a \rangle ), порождённая элементом ( a = (14)(235) ), не является нормальной в ( S_5 ).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ: