Доказать что группы Z3 x D4 и S4 неизоморфны

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп

Задача состоит в том, чтобы доказать, что группы Z_3 \times D_4 (прямая произведение циклической группы порядка 3 и диэдральной группы порядка 8) и S_4 (симметрическая группа на 4 элементах) неизоморфны.

Для этого исследуем их основные свойства, такие как порядок, структура и свойства элементов.

1. Порядок групп

Порядок группы — это количество элементов в группе.

• **Группа Z_3 \times D_4**: Порядок группы Z_3 равен 3, а порядок группы D_4 равен 8. При прямом произведении порядок новой группы равен произведению порядков исходных групп: |Z_3 \times D_4| = |Z_3| \cdot |D_4| = 3 \cdot 8 = 24.

• Группа S_4: Порядок группы S_4 равен числу всех перестановок 4 элементов, то есть: |S_4| = 4! = 24.

Таким образом, порядок обеих групп совпадает: |Z_3 \times D_4| = |S_4| = 24. Однако совпадение порядка не доказывает изоморфизм. Нужно исследовать другие свойства.

2. Структура подгрупп

Рассмотрим подгруппы и структуру элементов в обеих группах.

Группа Z_3 \times D_4:

• Группа Z_3 циклическая, и все ее элементы имеют порядок 1 или 3.
• Группа D_4 состоит из 8 элементов: 4 элемента вращения и 4 отражения. Порядки элементов в D_4 равны 1, 2 или 4.
• В прямом произведении Z_3 \times D_4 могут быть элементы с порядками 1, 2, 3, 4, 6 и 12 (наибольший порядок элемента в произведении равен НОК порядков элементов из Z_3 и D_4).

Группа S_4:

• Группа S_4 состоит из всех перестановок 4 элементов. Порядки элементов в S_4 равны 1, 2, 3, 4, 6.
• В S_4 нет элементов порядка 12. Это ключевое отличие между группами.

3. Элементы порядка 12

Чтобы доказать неизоморфность групп, достаточно показать, что одна из них содержит элемент порядка 12, а другая — нет.

• Группа Z_3 \times D_4: Рассмотрим элемент (g, h), где g \in Z_3 и h \in D_4. Порядок элемента в произведении равен: \text{lcm}(\text{ord}(g), \text{ord}(h)). Если взять g с порядком 3 из Z_3 и h с порядком 4 из D_4, то порядок элемента (g, h) будет: \text{lcm}(3, 4) = 12. Таким образом, в Z_3 \times D_4 есть элементы порядка 12.

• Группа S_4: В симметрической группе S_4 максимальный порядок элемента равен 6 (например, для цикла длины 3 и транспозиции). Элементов порядка 12 в S_4 нет.

4. Вывод

Группы Z_3 \times D_4 и S_4 неизоморфны, так как в первой группе есть элементы порядка 12, а во второй группе таких элементов нет. Это доказывает, что их структура различна, и изоморфизм невозможен.