Доказать, что центр группы ( Z(G) ) является нормальной подгруппой группы ( G )

Предмет: Абстрактная алгебра
Раздел: Теория групп

Нам нужно доказать, что центр группы ( Z(G) ) является нормальной подгруппой группы ( G ).

Определения:

1. Центр группы: Центр группы ( G ) обозначается как ( Z(G) ) и определяется следующим образом: [ Z(G) = { z \in G \ | \ \forall g \in G, \ zg = gz }. ] То есть, ( Z(G) ) состоит из всех элементов группы ( G ), которые коммутируют со всеми элементами ( G ).

2. Нормальная подгруппа: Подгруппа ( H \subseteq G ) называется нормальной, если для любого ( g \in G ) и ( h \in H ), элемент ( g h g^{-1} \in H ). Это можно записать как: [ \forall g \in G, \ gHg^{-1} \subseteq H. ]

Доказательство:

1. Возьмем произвольный элемент ( z \in Z(G) ), то есть ( z ) из центра группы ( G ). По определению центра, для любого ( g \in G ), выполняется: [ zg = gz. ]

2. Возьмем произвольный элемент ( g \in G ) и рассмотрим сопряжение ( gzg^{-1} ). Проверим, принадлежит ли ( gzg^{-1} ) центру ( Z(G) ): [ gzg^{-1} \in Z(G) \ \iff \ \forall x \in G, \ (gzg^{-1})x = x(gzg^{-1}). ]

3. Проверим это равенство: [ (gzg^{-1})x = gz(g^{-1}x). ] Так как ( z \in Z(G) ), то ( z ) коммутирует с любым элементом группы ( G ), в частности, с ( g^{-1}x ). Поэтому: [ z(g^{-1}x) = (g^{-1}x)z. ] Подставляя это обратно, получаем: [ gz(g^{-1}x) = g((g^{-1}x)z) = (gz)x. ] Следовательно: [ (gzg^{-1})x = x(gzg^{-1}). ]

4. Из этого видно, что ( gzg^{-1} \in Z(G) ), то есть центр ( Z(G) ) замкнут относительно сопряжения любым элементом ( g \in G ).

Вывод: Центр ( Z(G) ) является нормальной подгруппой группы ( G ), так как он замкнут относительно операции сопряжения.

Таким образом, доказано, что: [ Z(G) \trianglelefteq G. ]