Найти временную функцию для данной переходной функции при помощи пределов

Предмет: Теория автоматического управления

Раздел: Переходные процессы и обратное преобразование Лапласа

Дана передаточная функция:
W(s) = \frac{7(s+1)}{(s+2)^2 (s+4)}

Нужно найти соответствующую временную функцию w(t) с использованием пределов.

Решение

1. Разложение на простые дроби
   Представим функцию в виде суммы дробей:
   \frac{7(s+1)}{(s+2)^2 (s+4)} = \frac{A}{(s+2)^2} + \frac{B}{s+2} + \frac{C}{s+4}

   Умножим обе части на знаменатель (s+2)^2 (s+4):
   7(s+1) = A(s+4) + B(s+4)(s+2) + C(s+2)^2

2. Определение коэффициентов
   Для нахождения C подставим s = -2:
   7(-2+1) = A(-2+4) + B(0) + C(0)
   -7 = 2A \Rightarrow A = -\frac{7}{2}

   Для нахождения C подставим s = -4:
   7(-4+1) = A(0) + B(0) + C(-4+2)^2
   -21 = 4C \Rightarrow C = -\frac{21}{4}

   Для нахождения B подставим любое удобное значение, например s = 0:
   7(0+1) = A(0+4) + B(0+4)(0+2) + C(0+2)^2
   7 = 4A + 8B + 4C
   Подставляя найденные A и C:
   7 = 4(-\frac{7}{2}) + 8B + 4(-\frac{21}{4})
   7 = -14 + 8B - 21
   8B = 42 \Rightarrow B = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}

3. Обратное преобразование Лапласа
   Используем стандартные образы:
   \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{(s+a)^2} \right) = t e^{-at},
   \mathcal{L}^{-1} \left( \frac{1}{s+a} \right) = e^{-at}.

   Таким образом:
   w(t) = -\frac{7}{2} t e^{-2t} + \frac{21}{4} e^{-2t} - \frac{21}{4} e^{-4t}.

Ответ

w(t) = -\frac{7}{2} t e^{-2t} + \frac{21}{4} e^{-2t} - \frac{21}{4} e^{-4t}.