Найти временную функцию для данной переходной функции

Предмет: Теория автоматического управления

Раздел: Переходные процессы и обратное преобразование Лапласа

Дана передаточная функция:

 W(s) = \frac{7(s+1)}{(s+2)^2 (s+4)} 

Необходимо найти временную функцию, то есть выполнить обратное преобразование Лапласа.

Шаг 1: Разложение на простые дроби

Представим дробь в виде суммы простых дробей:

 \frac{7(s+1)}{(s+2)^2 (s+4)} = \frac{A}{(s+2)} + \frac{B}{(s+2)^2} + \frac{C}{(s+4)} 

Умножим обе части на знаменатель (s+2)^2 (s+4) и получим:

 7(s+1) = A(s+2)(s+4) + B(s+4) + C(s+2)^2 

Шаг 2: Подстановка значений для нахождения коэффициентов

Раскрываем скобки:

 7s + 7 = A(s^2 + 6s + 8) + B(s+4) + C(s^2 + 4s + 4) 

Группируем по степеням s:

 7s + 7 = (A + C)s^2 + (6A + 4C + B)s + (8A + 4B + 4C) 

Приравниваем коэффициенты:

1. Для s^2:
   A + C = 0
2. Для s:
   6A + 4C + B = 7
3. Для свободного члена:
   8A + 4B + 4C = 7

Шаг 3: Решение системы уравнений

Из первого уравнения:
C = -A

Подставляем во второе:
6A + 4(-A) + B = 7
6A - 4A + B = 7
2A + B = 7

Подставляем в третье:
8A + 4B + 4(-A) = 7
8A - 4A + 4B = 7
4A + 4B = 7
A + B = \frac{7}{4}

Решаем систему:

1. 2A + B = 7
2. A + B = \frac{7}{4}

Вычитаем второе из первого:
(2A + B) - (A + B) = 7 - \frac{7}{4}
A = \frac{21}{4} - 7 = \frac{7}{4}

Подставляем A во второе уравнение:
\frac{7}{4} + B = \frac{7}{4}
B = 0

Находим C:
C = -A = -\frac{7}{4}

Шаг 4: Обратное преобразование Лапласа

Записываем разложение:

 \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{s+2} + 0 \cdot \frac{1}{(s+2)^2} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{s+4} 

Используем обратное преобразование Лапласа:

 L^{-1} \left[ \frac{1}{s+a} \right] = e^{-at} 

Получаем временную функцию:

 w(t) = \frac{7}{4} e^{-2t} - \frac{7}{4} e^{-4t} 

Ответ:

 w(t) = \frac{7}{4} e^{-2t} - \frac{7}{4} e^{-4t}