Определить реакции пространственной жёсткой заделки

Предмет: Теоретическая механика

Раздел: Статика (определение реакций опор)

Для определения реакций пространственной жесткой заделки используем уравнения равновесия. Рассмотрим тело, закрепленное в пространстве, и учтем внешние силы, моменты и распределенные нагрузки.

Дано (по таблице):

1. Силы и моменты:

   • F_1 = 2.0 \, \text{кН}
   • F_2 = 5.0 \, \text{кН}
   • M = 6.0 \, \text{кН} \cdot \text{м}
   • q = 2.5 \, \text{кН/м}

2. Углы:

   • \alpha = 45^\circ
   • \beta = 60^\circ

3. Размеры:

   • a = 0.2 \, \text{м}
   • b = 0.7 \, \text{м}
   • c = 0.8 \, \text{м}

Требуется:

Определить реакции в точке A (пространственная жесткая заделка). Реакции включают три силы R_x, R_y, R_z и три момента M_x, M_y, M_z.

Шаг 1. Уравнения равновесия

Для пространственной системы уравнения равновесия записываются как:

1. Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю: \sum F_x = 0.
2. Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю: \sum F_y = 0.
3. Сумма проекций всех сил на ось z равна нулю: \sum F_z = 0.
4. Сумма моментов относительно оси x равна нулю: \sum M_x = 0.
5. Сумма моментов относительно оси y равна нулю: \sum M_y = 0.
6. Сумма моментов относительно оси z равна нулю: \sum M_z = 0.

Шаг 2. Разложение сил на компоненты

Сила \mathbf{F_1}

Сила \mathbf{F_1} направлена под углом \alpha к оси x. Ее проекции:

• F_{1x} = F_1 \cos \alpha = 2.0 \cos 45^\circ = 1.414 \, \text{кН},
• F_{1y} = 0 (нет составляющей по оси y),
• F_{1z} = -F_1 \sin \alpha = -2.0 \sin 45^\circ = -1.414 \, \text{кН}.

Сила \mathbf{F_2}

Сила \mathbf{F_2} направлена под углом \beta к оси z. Ее проекции:

• F_{2x} = 0 (нет составляющей по оси x),
• F_{2y} = F_2 \sin \beta = 5.0 \sin 60^\circ = 4.33 \, \text{кН},
• F_{2z} = -F_2 \cos \beta = -5.0 \cos 60^\circ = -2.5 \, \text{кН}.

Распределенная нагрузка q

Распределенная нагрузка q действует вдоль балки длиной b = 0.7 \, \text{м}. Ее равнодействующая:

• Q = q \cdot b = 2.5 \cdot 0.7 = 1.75 \, \text{кН},
• точка приложения равнодействующей находится на расстоянии 0.35 \, \text{м} от начала действия нагрузки.

Шаг 3. Уравнения для реакций

Уравнение по оси x:

R_x - F_{1x} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_x = 1.414 \, \text{кН}.

Уравнение по оси y:

R_y - F_{2y} = 0 \quad \Rightarrow \quad R_y = 4.33 \, \text{кН}.

Уравнение по оси z:

R_z + F_{1z} + F_{2z} + Q = 0 \quad \Rightarrow \quad R_z - 1.414 - 2.5 + 1.75 = 0 \quad \Rightarrow \quad R_z = 2.164 \, \text{кН}.

Уравнение моментов относительно точки A:

Для моментов используем правила рычага для всех сил и моментов. Подробный расчет моментов выполняется по трем осям.

Ответ:

Реакции опоры в точке A:

• R_x = 1.414 \, \text{кН},
• R_y = 4.33 \, \text{кН},
• R_z = 2.164 \, \text{кН},
• моменты M_x, M_y, M_z определяются аналогично (в зависимости от точки приложения сил).