Определить реакции связей

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Статика. Плоская система сил. Определение реакций связей.

Условие задачи:

На плоское твёрдое тело действуют:

• Сосредоточенные силы:
  [F = 6{,}1\ \text{Н}],
  [P = 1{,}9\ \text{Н}],
  угол [\alpha = 30^\circ] — угол между силой P и горизонталью.

• Пара сил с моментом:
  [M = 12{,}6\ \text{Н}\cdot\text{м}].

• Равномерно распределённая нагрузка:
  [q = 1{,}6\ \text{Н/м}],
  приложена на вертикальном участке длины [c = 1{,}7\ \text{м}].

• Геометрические параметры:
  [a = 0{,}5\ \text{м}],\ [b = 1{,}6\ \text{м}],\ [c = 1{,}7\ \text{м}].

Шаг 1: Определим реакции в опорах

• В точке A — неподвижная шарнирная опора: реакции [A_x] и [A_y].
• В точке B — подвижная опора под углом [\beta = 60^\circ]. Эта опора даёт реакцию [R_B] вдоль направления [\beta].

Шаг 2: Преобразуем силы

2.1. Сила P — разложим на компоненты:

 \begin{align*} P_x &= P \cdot \cos(\alpha) = 1{,}9 \cdot \cos(30^\circ) = 1{,}9 \cdot 0{,}866 = 1{,}6454\ \text{Н}, \ P_y &= P \cdot \sin(\alpha) = 1{,}9 \cdot \sin(30^\circ) = 1{,}9 \cdot 0{,}5 = 0{,}95\ \text{Н}. \end{align*} 

2.2. Распределённая нагрузка q:

Приводим к равнодействующей:

• Сила: [Q = q \cdot c = 1{,}6 \cdot 1{,}7 = 2{,}72\ \text{Н}].
• Точка приложения: на середине отрезка [c], т.е. на [c/2 = 0{,}85\ \text{м}] от точки B.

Шаг 3: Уравнения равновесия

1. Сумма проекций на ось X:

 \sum F_x = 0: \quad A_x + R_B \cdot \cos(\beta) - P_x = 0 

Подставим:

 A_x + R_B \cdot \cos(60^\circ) - 1{,}6454 = 0 \quad \Rightarrow \quad A_x + 0{,}5 R_B = 1{,}6454 \quad \text{(1)} 

2. Сумма проекций на ось Y:

 \sum F_y = 0: \quad A_y + R_B \cdot \sin(\beta) - F - P_y - Q = 0 

Подставим:

 A_y + R_B \cdot \sin(60^\circ) - 6{,}1 - 0{,}95 - 2{,}72 = 0 

 A_y + 0{,}866 R_B = 9{,}77 \quad \text{(2)} 

3. Сумма моментов относительно точки A:

Положительное направление — против часовой стрелки.

Моменты от сил:

• Сила F (вниз, на расстоянии [b = 1{,}6]):
  [-F \cdot b = -6{,}1 \cdot 1{,}6]
• Сила P:
  Плечо = [a = 0{,}5], вертикальная компонента [P_y = 0{,}95] создаёт момент:
  [-0{,}95 \cdot 0{,}5]
  Горизонтальная компонента [P_x = 1{,}6454] на плече [a + b = 2{,}1]:
  [-1{,}6454 \cdot 2{,}1]
• Распределённая нагрузка (равнодействующая Q = 2{,}72 на расстоянии b вправо и 0{,}85 вниз):
  Момент: [-2{,}72 \cdot 1{,}6]
• Момент M = 12{,}6 — задан как пара сил, добавляется в уравнение как есть.
• Сила R_B:
  Горизонтальная и вертикальная компоненты приложены в точке B.
  Горизонтальное плечо: b = 1{,}6, вертикальное: c = 1{,}7
  Момент от R_B:
  [+R_B \cdot (\cos(\beta) \cdot c - \sin(\beta) \cdot b)]

Теперь запишем всё:

 \sum M_A = 0: \quad -6{,}1 \cdot 1{,}6 - 0{,}95 \cdot 0{,}5 - 1{,}6454 \cdot 2{,}1 - 2{,}72 \cdot 1{,}6 + 12{,}6 + R_B \cdot (0{,}5 \cdot 1{,}7 - 0{,}866 \cdot 1{,}6) = 0 

Посчитаем:

 -9{,}76 - 0{,}475 - 3{,}4553 - 4{,}352 + 12{,}6 + R_B \cdot (0{,}85 - 1{,}3856) = 0 

 -5{,}4423 + R_B \cdot (-0{,}5356) = 0 \quad \Rightarrow \quad R_B = \frac{5{,}4423}{0{,}5356} = 10{,}16\ \text{Н} 

Шаг 4: Подставим R_B в (1) и (2):

Из (1):

 A_x + 0{,}5 \cdot 10{,}16 = 1{,}6454 \quad \Rightarrow \quad A_x = 1{,}6454 - 5{,}08 = -3{,}4346\ \text{Н} 

Из (2):

 A_y + 0{,}866 \cdot 10{,}16 = 9{,}77 \quad \Rightarrow \quad A_y = 9{,}77 - 8{,}8 = 0{,}97\ \text{Н} 

✅ Ответ:

Реакции связей:

• В точке A:
  • [A_x = -3{,}43\ \text{Н}] (влево),
  • [A_y = 0{,}97\ \text{Н}] (вверх).
• В точке B:
  • [R_B = 10{,}16\ \text{Н}] (вдоль направления [\beta = 60^\circ]).