Определить положение центра тяжести (сечения, состоящего из пяти простых геометрических фигур

Определение предмета и раздела

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Статика (Центр тяжести плоских фигур)

Решение

Для определения координат центра тяжести составной фигуры используем метод разбиения на простые геометрические фигуры и применяем формулы для координат центра тяжести:

 x_c = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i}, \quad y_c = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} 

где:

• x_i, y_i — координаты центров тяжести отдельных фигур,
• A_i — площади отдельных фигур.

Разбиение на простые фигуры

Разобьем фигуру на 5 простых элементов:

1. Нижний прямоугольник (основание)
2. Верхний прямоугольник (выступ)
3. Два боковых прямоугольника
4. Вырез (круг)

1. Нижний прямоугольник

• Размеры: 40 см × 10 см
• Площадь:
  A_1 = 40 \times 10 = 400 \text{ см}^2
• Координаты центра:
  (x_1, y_1) = (20, 5)

2. Верхний прямоугольник

• Размеры: 15 см × 10 см
• Площадь:
  A_2 = 15 \times 10 = 150 \text{ см}^2
• Координаты центра:
  (x_2, y_2) = (20, 40)

3. Два боковых прямоугольника

• Размеры каждого: 10 см × 10 см
• Площадь каждого:
  A_3 = A_4 = 10 \times 10 = 100 \text{ см}^2
• Координаты центров:
  • Левый: (x_3, y_3) = (10, 15)
  • Правый: (x_4, y_4) = (30, 15)

4. Вырез (круг)

• Диаметр: 8 см, радиус: 4 см
• Площадь (отрицательная, так как это вырез):
  A_5 = -\pi \times 4^2 = -16\pi \approx -50.24 \text{ см}^2
• Координаты центра:
  (x_5, y_5) = (20, 15)

Вычисление координат центра тяжести

Координата x_c

 x_c = \frac{(20 \times 400) + (20 \times 150) + (10 \times 100) + (30 \times 100) + (20 \times (-50.24))}{400 + 150 + 100 + 100 - 50.24} 

 x_c = \frac{(8000 + 3000 + 1000 + 3000 - 1004.8)}{699.76} \approx \frac{13995.2}{699.76} \approx 20 \text{ см} 

Координата y_c

 y_c = \frac{(5 \times 400) + (40 \times 150) + (15 \times 100) + (15 \times 100) + (15 \times (-50.24))}{400 + 150 + 100 + 100 - 50.24} 

 y_c = \frac{(2000 + 6000 + 1500 + 1500 - 753.6)}{699.76} \approx \frac{10246.4}{699.76} \approx 14.65 \text{ см} 

Ответ

Координаты центра тяжести составной фигуры:
(x_c, y_c) \approx (20, 14.65) \text{ см}