Определение реакций связей для плоской системы сил, приложенных к твёрдому телу

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Статика

Задача состоит в определении реакций связей для плоской системы сил, приложенных к твёрдому телу. Для этого применяются условия равновесия твёрдого тела.

Дано:

1. Сосредоточенные силы:
   • F = 2.8 \, \text{кН}
   • P = 5.8 \, \text{кН}
2. Распределённая нагрузка:
   • Интенсивность q = 2.5 \, \text{кН/м}
3. Момент пары сил:
   • M = 6.8 \, \text{кН·м}
4. Геометрические размеры:
   • a = 0.2 \, \text{м}, b = 0.7 \, \text{м}, c = 0.8 \, \text{м}
5. Углы:
   • \alpha = 90^\circ, \beta = 60^\circ

Решение:

1. Определим реакции связей.

На схеме имеются две опоры:

• Шарнирно-неподвижная опора в точке A, с реакциями R_{Ax} и R_{Ay}.
• Шарнирно-подвижная опора в точке B, с реакцией R_B, направленной перпендикулярно плоскости движения (вверх).

2. Условия равновесия:

Для плоской системы сил справедливы три уравнения равновесия:

1. \sum F_x = 0 (сумма проекций всех сил на ось x равна нулю),
2. \sum F_y = 0 (сумма проекций всех сил на ось y равна нулю),
3. \sum M_A = 0 (сумма моментов всех сил относительно точки A равна нулю).

3. Разложение сил на компоненты.

1. Сила P под углом \alpha = 90^\circ:

   • P_x = P \cdot \cos \alpha = 5.8 \cdot \cos 90^\circ = 0,
   • P_y = P \cdot \sin \alpha = 5.8 \cdot \sin 90^\circ = 5.8 \, \text{кН}.

2. Распределённая нагрузка q:

   • Суммарная сила от распределённой нагрузки: Q = q \cdot a = 2.5 \cdot 0.2 = 0.5 \, \text{кН}.
   • Точка приложения силы Q находится в центре участка a, то есть на расстоянии 0.1 \, \text{м} от точки A.

3. Сила F направлена вертикально вниз:

   • F_x = 0,
   • F_y = -2.8 \, \text{кН}.

4. Уравнения равновесия.

1. Уравнение для проекций на ось x: \sum F_x = R_{Ax} + P_x = 0
   Подставляя P_x = 0:
   R_{Ax} = 0.

2. Уравнение для проекций на ось y: \sum F_y = R_{Ay} + R_B - F_y - P_y - Q = 0
   Подставляя значения:
   R_{Ay} + R_B - (-2.8) - 5.8 - 0.5 = 0
   R_{Ay} + R_B = 9.1 \, \text{кН}.
   Это первое уравнение.

3. Уравнение моментов относительно точки A: \sum M_A = -F \cdot b - P \cdot (b + c) + M + Q \cdot 0.1 + R_B \cdot (b + c) = 0
   Подставляя значения:
   -2.8 \cdot 0.7 - 5.8 \cdot (0.7 + 0.8) + 6.8 + 0.5 \cdot 0.1 + R_B \cdot (0.7 + 0.8) = 0
   -1.96 - 8.7 + 6.8 + 0.05 + R_B \cdot 1.5 = 0
   -3.81 + R_B \cdot 1.5 = 0
   R_B = \frac{3.81}{1.5} = 2.54 \, \text{кН}.

4. Найдём R_{Ay} из первого уравнения: R_{Ay} + 2.54 = 9.1
   R_{Ay} = 9.1 - 2.54 = 6.56 \, \text{кН}.

5. Ответ:

• R_{Ax} = 0 \, \text{кН},
• R_{Ay} = 6.56 \, \text{кН},
• R_B = 2.54 \, \text{кН}.