Определить реакции связей

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Статика. Расчёт на плоскую систему сил. Определение реакций связей.

Задание:
Для плоского твёрдого тела, изображённого на рисунке С 2.3, необходимо определить реакции связей в точках A и B. На тело действуют:

• Сосредоточенные силы:
  • [F] под углом [\beta]
  • [P] под углом [\alpha]
• Равномерно распределённая нагрузка интенсивностью [q] на вертикальном участке длиной [c]
• Пара сил с моментом [M]
• Геометрические параметры: [a], [b], [c]

1. Определение связей

• В точке A — шарнирно-неподвижная опора, даёт две реакции: горизонтальную [A_x] и вертикальную [A_y].
• В точке B — шарнирно-подвижная опора, даёт одну реакцию — вертикальную [B_y].

2. Замена распределённой нагрузки

Распределённую нагрузку [q] заменим на равнодействующую силу:

• Величина:
  Q = q \cdot c
• Направлена горизонтально влево (по рисунку)
• Приложена в середине вертикального участка: на расстоянии [c/2] от точки B вверх

3. Проекции всех сил

• Сила [F] под углом [\beta] к горизонту:

  • Горизонтальная проекция: F_x = F \cos \beta
  • Вертикальная проекция: F_y = F \sin \beta

• Сила [P] под углом [\alpha] к горизонту:

  • Горизонтальная проекция: P_x = P \cos \alpha
  • Вертикальная проекция: P_y = P \sin \alpha

4. Составим уравнения равновесия

Условие равновесия по горизонтали:

 \sum F_x = 0: \quad A_x - F \cos \beta - P \cos \alpha - Q = 0 

Условие равновесия по вертикали:

 \sum F_y = 0: \quad A_y + B_y - F \sin \beta - P \sin \alpha = 0 

Момент относительно точки A (по правилу моментов):

• Момент силы [F]:
  Плечо = [a], вертикальная компонента даёт момент:
  -F \sin \beta \cdot a
  Горизонтальная компонента: +F \cos \beta \cdot 0 = 0

• Момент силы [P]:
  Плечо = [a + b], вертикальная компонента:
  -P \sin \alpha \cdot (a + b)
  Горизонтальная компонента:
  -P \cos \alpha \cdot c
  (так как сила приложена на высоте [c] от оси A)

• Момент распределённой нагрузки [Q = q \cdot c]:
  Приложена на расстоянии [c/2] от точки B вверх, а точка B — на расстоянии [a + b] от A, значит:
  -Q \cdot (a + b)

• Момент от реакции [B_y]:
  +B_y \cdot (a + b)

• Момент от внешнего момента [M]:
  -M (зависит от направления, по рисунку — против часовой стрелки)

Итоговое уравнение моментов:  \sum M_A = 0: \quad -F \sin \beta \cdot a - P \sin \alpha \cdot (a + b) - P \cos \alpha \cdot c - Q \cdot (a + b) + B_y \cdot (a + b) - M = 0 

5. Система уравнений

Итак, получили систему:

1. Горизонтальное равновесие: A_x = F \cos \beta + P \cos \alpha + q \cdot c

2. Вертикальное равновесие: A_y + B_y = F \sin \beta + P \sin \alpha

3. Момент относительно A:  B_y \cdot (a + b) = F \sin \beta \cdot a + P \sin \alpha \cdot (a + b) + P \cos \alpha \cdot c + q \cdot c \cdot (a + b) + M 

6. Решение

Из уравнения (3) находим [B_y], затем подставляем в (2) для [A_y], и из (1) сразу получаем [A_x].

Если будут заданы численные значения параметров ([F], [P], [q], [a], [b], [c], [\alpha], [\beta], [M]), можно выполнить численное решение.

Если хочешь — пришли данные, и я посчитаю всё численно.