Определить положение центра тяжести (сечения, состоящего из пяти простых геометрических фигур

Определение предмета и раздела

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Статика, центр тяжести

Решение задачи

Центр тяжести составной фигуры определяется с помощью формулы:

 x_c = \frac{\sum x_i A_i}{\sum A_i}, \quad y_c = \frac{\sum y_i A_i}{\sum A_i} 

где:

• x_i, y_i — координаты центров тяжести отдельных фигур
• A_i — площади отдельных фигур

1. Разбиение фигуры на простые элементы

Фигуру можно разбить на 5 частей:

1. Нижний прямоугольник (основание)
2. Верхний прямоугольник (выступ)
3. Два боковых прямоугольника
4. Вырез (круг)

2. Определение площадей фигур

• Прямоугольник 1 (нижний):
  A_1 = 40 \times 10 = 400 \text{ см}^2
• Прямоугольник 2 (верхний):
  A_2 = 15 \times 35 = 525 \text{ см}^2
• Прямоугольник 3 (левый боковой):
  A_3 = 10 \times 10 = 100 \text{ см}^2
• Прямоугольник 4 (правый боковой):
  A_4 = 10 \times 10 = 100 \text{ см}^2
• Круг (отверстие):
  A_5 = \pi \times \left(\frac{8}{2}\right)^2 = \pi \times 16 = 50.24 \text{ см}^2

3. Определение координат центров тяжести

• Прямоугольник 1:
  (x_1, y_1) = (20, 5)
• Прямоугольник 2:
  (x_2, y_2) = (20, 40)
• Прямоугольник 3:
  (x_3, y_3) = (10, 15)
• Прямоугольник 4:
  (x_4, y_4) = (30, 15)
• Круг (вырез):
  (x_5, y_5) = (20, 15)

4. Вычисление координат центра тяжести

Координата по оси X:
 x_c = \frac{(20 \times 400) + (20 \times 525) + (10 \times 100) + (30 \times 100) - (20 \times 50.24)}{400 + 525 + 100 + 100 - 50.24} 

 x_c = \frac{8000 + 10500 + 1000 + 3000 - 1004.8}{1074.76} = \frac{20495.2}{1074.76} \approx 19.07 \text{ см} 

Координата по оси Y:
 y_c = \frac{(5 \times 400) + (40 \times 525) + (15 \times 100) + (15 \times 100) - (15 \times 50.24)}{400 + 525 + 100 + 100 - 50.24} 

 y_c = \frac{2000 + 21000 + 1500 + 1500 - 753.6}{1074.76} = \frac{24746.4}{1074.76} \approx 23.04 \text{ см} 

Ответ:

Координаты центра тяжести:
(x_c, y_c) \approx (19.07, 23.04) \text{ см}